hello

a) Đặt A = 2018⁴ⁿ + 2019⁴ⁿ + 2020⁴ⁿ

= (2018⁴)ⁿ + (2019⁴)ⁿ + (2020⁴)ⁿ

= (....6)ⁿ + (....1)ⁿ + (....0)ⁿ

= (...6) + (...1) + (...0) = (....7) 

=> A không là số chính phương

b) Đặt 1995 + n = a² (1) 

2014 + n = b² (2)

a;b \(\inℤ\)

=> (2004 + n) - (1995 + n) = b² - a²

=> b² - a² = 9

=> b² - ab + ab - a² = 9

=> b(b - a) + a(b - a) = 9

=> (b + a)(b - a) = 9

Lập bảng xét các trường hợp

Từ a;b tìm được thay vào (1)(2) ta được 

n = -1979 ; n = -2014 ; 

Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.

Giả sử \(A=n^2+4n+11\) là số chính phương

đặt \(n^2+4n+11=k^2>0\)

      \(\Rightarrow\left(n^2+4n+4\right)+7=k^2\\ \Rightarrow\left(n+2\right)^2-k^2=-7\\ \Rightarrow\left(n-k+2\right)\left(n+k+2\right)=-7\)

Ta có n,k>0⇒n+k+2>0; n-k+2<n+k+2; n-k+2,n+k+2∈Ư(-7)

Ta có bảng:

Vậy n=1

 Đặt \(n+1=k^2\left(k\inℕ,k\ge2\right)\) (1) và \(4n+29=l^2\left(l\inℕ,l\ge6\right)\) (2)

(1) \(\Leftrightarrow4n+4=4k^2\) (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow l^2-4k^2=25\) \(\Leftrightarrow\left(l-2k\right)\left(l+2k\right)=25\)

Do \(l+2k>0\Rightarrow l-2k>0\). Lại có \(l-2k< l+2k\) nên ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}l-2k=1\\l+2k=25\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=6\\l=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1=36\\4n+29=169\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow n=35\) (thỏa)

Vậy \(n=35\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn ycbt.