Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn(O).
Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. CMR:
a/. Các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp
b/ AD.BC = BE AC
c/. CMR BHM cân
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$ và cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp.
b) Bốn điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.
c) $AE.AC = AH.AD$ và $AD.BC = BE.AC$.
d) $H$ và $M$ đối xứng nhau qua $BC$.
e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .
Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
c) AE.AC = AH.AD ; AD.BC = BE.AC
c) Xét ΔAEH và ΔADC có:
∠(AEH) = ∠(ADC) = 90 0
∠(DAC) là góc chung
⇒ AE.AC = AD.AH
Xét Δ BEC và ΔADC có:
∠(BEC) = ∠(ADC) = 90 0
∠(ACD) là góc chung
⇒ ΔBEC ∼ ΔADC (g.g)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
a. Xét tứ giác AEHF có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HFA}=90^o\\\widehat{HEA}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{HFA}+\widehat{HEA}=180^o\)\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính HA
Tương tự ta có, xét tứ giác BCEF có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFC}=90^o\\\widehat{BEC}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{BFC}+\widehat{BEC}=180^o\)\(\Rightarrow\) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC
b. Xét đường tròn (O;R) có: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\) (cùng nhìn \(\stackrel\frown{CM}\))
Xét tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn ta có: \(\widehat{CFE}=\widehat{CBE}\) (cùng nhìn \(\stackrel\frown{CM}\))
\(\Rightarrow\widehat{CNM}=\widehat{CFE}\) (ở vị trí đồng vị)
\(\Rightarrow\)MN//EF (đpcm)
a: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp
Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao
AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh các tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp đường tròn.
b) Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại điểm K khác điểm A. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng HK và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BC.
c, tinh AH/AD + BH/BE + CH/CF =2
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.H và M đối xứng nhau qua BC.Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
góc C2 = góc A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
~ Ủng hộ nha ~
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
góc C2 = góc A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
~ Ủng hộ nha ~
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
góc C2 = góc A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
~ Ủng hộ nha ~
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.H và M đối xứng nhau qua BC.Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.Câu hỏi của hungbck5 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo tại đây nhé.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.H và M đối xứng nhau qua BC.Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.H và M đối xứng nhau qua BC.Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEC = 900 . CF là đường cao => CF AB => BFC = 900
. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; A là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có C1 = A1 (vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 = C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => C1 = E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C1 = E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp .Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.H và M đối xứng nhau qua BC.Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.a)HEC+HDC=180 => .......
b)BFC=BEC=90 =>tứ giác FEAC noi tiep => .....
c)
AE*AC=AH*AD thì cm tam giác AEB dong dang tam giác AFC2*S abc = AD*BC=BE*AC