a: Gọi E là trung điểm của AB

ΔABC đều nên CE vuông góc AB

ΔABD đều nên DE vuông góc AB

=>AB vuông góc (CDE)

=>AB vuông góc CD

b: Xét ΔCAB có CN/CB=CM/CA

nên MN//AB và MN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DP/DB

nên PQ//AB và PQ/AB=DQ/DA=1/2

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔADC có AQ/AD=AM/AC

nên QM//DC

=>QM vuông góc AB

=>QM vuông góc QP

=>MNPQ là hình chữ nhật

- Gọi I là trung điểm của AB. Vì ABC và ABD là các tam giác đều nên:

- Suy ra: AB ⊥ (CID) ⇒ AB ⊥ CD.

- Do đó, góc giữa AB và CD bằng  90 ° .

Chọn C.

- Gọi I là trung điểm của AB. Vì ABC và ABD là các tam giác đều, nên: 

- Suy ra : 

- Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°

Gọi M là trung điểm của AB  ta có:

Chọn C.

Chọn B.

Phương pháp:

Ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD chính là điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.

Dựa vào tính chất tam giác cân, hai tam giác bằng nhau, tỉ số lượng giác để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau từ đó tìm được tâm mặt cầu.

Cách giải:

Các tam giác đều ABC và BCD có cạnh 2

⇒ B D = D C = B C = A B = A C = 2  

Nên tam giác CAD cân tại C và  tam giác BAD cân tại B.

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CHB vuông cân tại H có cạnh huyền CB = 2.

Chứng minh tương tự, ta có tam giác AKD là tam giác cân tại K có KI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IK ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra; IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Chọn A

Coi như a = 1 . Tam giác ACD vuông tại A nên A D = C D 2 - A C 2 = 1 = A B  cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có A H ⊥ B C D  và C D ⊥ A E . Hơn nữa C D ⊥ A H ⇒ C D ⊥ A H E ⇒ C D ⊥ H E  mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có A I . A H = A E 2 ⇒ A I = A E 2 A H . Ta có  A E = 1 2 C D = 2 2 ,  H K = 1 2 B C = 1 2   ⇒ A H = 1 2

Vậy  A I = A E 2 A H = 1   ⇒ R = 1 ⇒ V m c = 4 3 πa 3

- Theo giả thiết:

Ta có: