Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE

Do đó:ΔABD=ΔACE

Suy ra: AD=AE

Xét ΔHBD vuông tại H và ΔKCE vuông tại K có

BD=CE

\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)

Do đó: ΔHBD=ΔKCE
Suy ra: \(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)

mà \(\widehat{HBD}=\widehat{IBC}\)

và \(\widehat{KCE}=\widehat{ICB}\)

nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

hay ΔIBC cân tại I

Xét ΔIBD và ΔICE có

IB=IC

\(\widehat{IBD}=\widehat{ICE}\)

BD=CE
Do đó: ΔIBD=ΔICE
Suy ra: ID=IE

Xét ΔADI và ΔAEI có

AD=AE

DI=EI

AI chung

Do đó: ΔADI=ΔAEI

Suy ra: \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\)

hay AI là tia phân giác của góc DAE

a, Do H là giao điểm của 2 đường cao tam giác ABC mà AH cắt BC tại D \(\Rightarrow AD\perp BC\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^o\)

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{HFB}=90^o\)

\(\widehat{ADB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HFB}+\widehat{ADB}=180^o\)

Vậy tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp đường tròn

\(\widehat{\text{AFB}}=\widehat{ADB}=90^0\)

Mà ÀB và ADB là hai góc kề cùng nhìn AB dưới hai góc bằng nhau => ÀDB nội tiếp

b) ta có \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\)( cùng chắn cung AB)

\(\widehat{DFC}=\widehat{BAF}\)( trong tứ giác nội tiếp góc ngaoif tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh còn lại )

\(\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{FDC}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}=90^0\)

\(\Rightarrow DF\perp CA\)

dĐAEDƯÈWEWÈWÉWÈWẺ3GWDFCEWFSCAWECFASEFSAD

Lời giải:

a)

HM⊥AB;HN⊥AC⇒HMAˆ=HNAˆ=900HM⊥AB;HN⊥AC⇒HMA^=HNA^=900

Xét tứ giác AMHNAMHN có tổng 2 góc đối HMAˆ+HNAˆ=900+900=1800HMA^+HNA^=900+900=1800 nên AMHNAMHN là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b)

Vì AMHNAMHN nội tiếp ⇒AMNˆ=AHNˆ⇒AMN^=AHN^

Mà AHNˆ=ACBˆ(=900−NHCˆ)AHN^=ACB^(=900−NHC^)

⇒AMNˆ=ACBˆ⇒AMN^=ACB^

Xét tam giác AMNAMN và ACBACB có:

{Aˆ−chungAMNˆ=ACBˆ(cmt)⇒△AMN∼△ACB(g.g){A^−chungAMN^=ACB^(cmt)⇒△AMN∼△ACB(g.g)

⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AC.AN⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AC.AN (đpcm)

c)

Ta có: ACBˆ=AEBˆACB^=AEB^ (góc nội tiếp chắn cung ABAB)

ACBˆ=AMNˆACB^=AMN^ (cmt)

⇒AEBˆ=AMNˆ⇒AEB^=AMN^

⇔IEBˆ=1800−BMIˆ⇔IEB^=1800−BMI^

⇔IEBˆ+BMIˆ=1800⇔IEB^+BMI^=1800, do đó tứ giác BMIEBMIE nội tiếp

⇒MIEˆ=1800−MBEˆ=1800−900=900⇒MIE^=1800−MBE^=1800−900=900 (MBEˆ=ABEˆ=900MBE^=ABE^=900 vì là góc nt chắn nửa đường tròn)

⇒MN⊥AE⇒MN⊥AE . Ta có đpcm.

Chúc bạn học tốt

Bài 1. câu 3

Kẻ đường kính MK của (O), cắt CD tại I => góc MAK = 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Tam giác AHM vuông tại H có đường cao HD => MH² = MA.MD

tương tự MH² = MB.MC => MA.MD = MB.MC => MD/MB = MC/MA và góc AMB chung => tam giác MCD đồng dạng tam giác MAB 

=> góc MDC = góc MBA mà góc MBA = góc MKA (cùng chắn cung MA) => góc MDC = góc MKA hay gócMDI = góc MKA

tam giác MDI và tam giác MKA có góc M chung và góc MDI = góc MKA (cmt) nên đồng dạng => góc MIA = MAK = 90⁰

=> MK vuông góc CD hay MO vuông góc CD

Bài 2. câu 3 : Tỉ số \(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

chỉ tôi câu 2 bài 1 vs

Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAHB vuông tại H)

\(\widehat{ACK}+\widehat{BAC}=90^0\)(ΔAKC vuông tại K)

Do đó: \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\widehat{ACE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{AD}=sd\stackrel\frown{AE}\)