Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.

Áp dụng bdt cosi-schwar cho 3 số (\(\left(am+bn+cp\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\left(m^2+n^2+p^2\right)\)

với a=x,b=y\(\sqrt{2}\);c=z\(\sqrt{5}\);  m=\(\sqrt{11-2y^2},n=\sqrt{3-5z^2}\),\(p=\sqrt{2-x^2}\)

8²\(\le\left(x^2+2y^2+5z^2\right)\left(11-2y^2+3-5z^2+1-x^2\right)\)  <=>64\(\le P\left(16-P\right)\)

<=>P²-16P+64\(\le0< =>\left(P-8\right)^2\le0\)  <=>P=8

b,Ap dung bdt cauchy schwarz dang engel ta co

\(B=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{a^2}{3}\)

xay ra dau = khi x=y=z=a/3

Lời giải:

\(\left\{\begin{matrix} x+3z=21\\ 2x+5y=51\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z=\frac{21-x}{3}\\ y=\frac{51-2x}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y+z=x+\frac{51-2x}{5}+\frac{21-x}{3}=\frac{4}{15}x+\frac{86}{5}\)

\(\Rightarrow P=(x+y+z)^2=\left(\frac{4}{15}x+\frac{86}{5}\right)^2\)

Vì \(y,z\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=21-3x\leq 21\\ x=\frac{51-5y}{2}\leq \frac{51}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq 21\)

Do đó: \(P\leq \left(\frac{4}{15}.21+\frac{86}{5}\right)^2=\frac{1156}{9}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=21; y=\frac{9}{5}; z=0\)

Ta có: x+5y=21 và 2x+3z=51

=> x+5y+2x+3z=21+51

<=> 3x+3y+3z+2y=72

<=> 3(x+y+z)=72-2y

=> \(x+y+z=\frac{72-2y}{3}=24-\frac{2y}{3}\)

=> \(A=\left(x+y+z\right)^2=\left(24-\frac{2y}{3}\right)^2\)

Do \(y\ge0\)=> Để A đạt GTLN thì y đạt GTNN

Mà GTNN của y là y=0 => \(A_{max}=\left(24-\frac{2y}{3}\right)^2=\left(24-\frac{2}{3}.0\right)^2=24^2=576\)

Đáp số: A_max=576

Do  \(x+y=1\Rightarrow y=1-x\) nên \(P=5^{2x}+5^{1-x}=5^{2x}+\frac{5}{5^x}\)

Đặt \(t=5^x\) thì 1\(\le t\le\)5 ( do \(0\le x\le1\))

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^2+\frac{5}{t}\) với \(1\le t\le5\)

Ta có \(f'\left(t\right)=2t-\frac{5}{t^2}=\frac{2t^3-5}{t^2}\)

Do đó có bảng biến thiên

Vậy min P=min f(t) = \(f\left(\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\right)\)=\(3\sqrt[3]{\frac{25}{4}}\)

        max P =max f(t) =f(5)=26

{ x + 5y = 21 (1) 
{ 2x + 3z = 51 (2) 

. Ta có : (1) <=> x = 21 - 5y 

mà y ≥ 0 --> 21 - 5y ≤ 21 --> x ≤ 21 

. (2) <=> 3z = 51 - 2z ≥ 51 - 2.42 = 9 ( do x ≤ 21 --> -2x ≥ - 42) 

--> 3z ≥ 9 <=> z ≥ 3 

- nhân 2 vế của (2) với 2 rồi cộng với (1) ta có 

5x + 5y + 6z = 123 

<=> 5x + 5y + 5z = 123 - z 

<=> 5M = 123 - z 

. theo trên ta có z ≥ 3 --> 123 - z ≤ 123 - 3 = 120 

--> 5M ≤ 120 <=> M ≤ 24 

Dấu " = " xảy ra <=> x = 21 ; y = 0 ; z = 3