Question

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=5^{2x}+5^y\) biết rằng \(x\ge0,y\ge0,x+y=1\)

Answer 1

Do  \(x+y=1\Rightarrow y=1-x\) nên \(P=5^{2x}+5^{1-x}=5^{2x}+\frac{5}{5^x}\)

Đặt \(t=5^x\) thì 1\(\le t\le\)5 ( do \(0\le x\le1\))

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^2+\frac{5}{t}\) với \(1\le t\le5\)

Ta có \(f'\left(t\right)=2t-\frac{5}{t^2}=\frac{2t^3-5}{t^2}\)

Do đó có bảng biến thiên

t	1                            \(^3\sqrt{\frac{5}{2}}\)                                         5
f'(t)	-                0                       +
f(t)	6                                                                               26                                \(3\sqrt[3]{\frac{25}{4}}\)

Vậy min P=min f(t) = \(f\left(\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\right)\)=\(3\sqrt[3]{\frac{25}{4}}\)

        max P =max f(t) =f(5)=26