Bài 2: Cực trị hàm số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ Phương Nam

Cho hàm số : \(y=\frac{2x+3}{x+2}\) có đồ thị C

Cho đường thẳng d : y=-2x+m. Chứng minh rằng d cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi \(k_1,k_2\) lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để \(P=\left(k_1\right)^{2014}+\left(k_2\right)^{2014}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trần Minh Ngọc
6 tháng 4 2016 lúc 12:38

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d :

\(\frac{2x+3}{x+2}=-2x+m\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-2\\2x^2+\left(6-m\right)x+3-2m=0\end{cases}\) (*)

Xét phương trình (*), ta có \(\Delta>0\), mọi \(m\in R\) và x=-2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là :

\(k_1=\frac{1}{\left(x_1+1\right)^2};k_2=\frac{1}{\left(x_2+1\right)^2}\) trong đó \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của phương trình (*)

Ta thấy :

\(k_1.k_2=\frac{1}{\left(x_1+1\right)^2.\left(x_2+1\right)^2}=\frac{1}{\left(x_1x_2+2x_1+2x_2+4\right)^2}=4\)  (\(k_1>0;k_2>0\) )

Có \(P=\left(k_1\right)^{2014}+\left(k_2\right)^{2014}\ge2\sqrt{\left(k_1k_2\right)^{2014}}=2^{2015}\)

Do đó , Min \(P=2^{2015}\) đạt được khi và chỉ khi \(k_1=k_2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x_1+2\right)^2}=\frac{1}{\left(x_2+2\right)^2}\Leftrightarrow\left(x_1+2\right)^2=\left(x_2+2\right)^2\)

Do \(x_1,x_2\) phân biệt nên ta có \(x_1+2=-x_2-2\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=-4\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m=-2\)


Các câu hỏi tương tự
Vũ Sông Hương
Xem chi tiết
ánh tuyết nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Huỳnh Đông Anh
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Minh Tín
Xem chi tiết
Nguyễn Hải Vân
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Đạt
Xem chi tiết
Phan Thị Cẩm Tiên
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết