Bài 1: Cho hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m-2\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành
Bài 2: Cho hàm số \(y=\dfrac{2x-2}{x+1}\) . Tìm m để đường thẳng d: \(y=2x+m\) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=\(\sqrt{5}\)
Bài 3: Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+2(m-1)x-3\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm) . Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung
Bài 4: Cho hàm số \(y=-x^3+2(m-1)x^2-(m^2-3m+2)x-4\)
(m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Bài 5: Cho hàm số \(y=-x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3m^2-1\) (1). Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O
1.
Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m< 3\)
2.
Pt hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)
\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)
\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)
3.
\(y'=x^2-2mx+2\left(m-1\right)\)
Hàm có 2 điểm cực trị nằm về cùng phía đối với trục tung khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb cùng dấu
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m-1\right)>0\\ac=1.2\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m+2>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>1\)
4.
\(y'=-3x^2+4\left(m-1\right)x-\left(m^2-3m+2\right)\)
Hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb trái dấu
\(\Leftrightarrow ac< 0\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2-3m+2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow1< m< 2\)
5.
\(y'=-3x^2+6x+3\left(m^2-1\right)\)
Để hàm có cực đại cực tiểu \(\Rightarrow y'=0\) có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow\Delta'=9+9\left(m^2-1\right)=9m^2>0\)
\(\Leftrightarrow m\ne0\)
Khi đó ta có hoành độ các cực trị: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A=\dfrac{-3+3m}{-3}=1-m\\x_B=\dfrac{-3-3m}{-3}=1+m\end{matrix}\right.\)
Mặt khác ta có:
\(y=-x^3+3x^2-3x+1+3m^2\left(x-1\right)-2=\left(1-x\right)^3+3m^2\left(x-1\right)-2\)
Do đó: \(y_A=\left(1-1+m\right)^3+3m^2\left(1-m-1\right)-2=-2m^3-2\)
\(y_B=\left(1-1-m\right)^3+3m^2\left(m+1-1\right)-2=2m^3-2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}=\left(1-m;-2m^3-2\right)\\\overrightarrow{OB}=\left(1+m;2m^3-2\right)\end{matrix}\right.\)
\(OA\perp OB\Rightarrow\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\)
\(\Rightarrow1-m^2-4\left(m^6-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^6+m^2-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)\left(4m^4+4m^2+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)
