a/ Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BE;CF cắt nhau tại I => I là trọng tâm tam giác ABC
=> AI là đường trung tuyến thứ 3

=> AI đi qua trung điểm H của BC

=> HB = HC

Mà tam giác ABC cân tại A => AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác => góc BAH = góc CAH

Xét tam giác ABI và tam giác CAI có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(cmt\right)\\AB=AC\left(gt\right)\\AI:chung\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

Mà: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> Tam giác BIC cân tại I

b/ Vì I là trọng tâm tam giác ABC => \(BI=\frac{2}{3}BE;IE=\frac{1}{3}BE\Rightarrow BI=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2IE\)

Vì tam giác ABC cân tại A => AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

=> AI vuông góc BC tại H

Xét tam giác BIH vuông tại H có BI là cạnh huyền => \(BH< BI\Rightarrow BH< 2IE\left(1\right)\)

Giải thích thêm: Vì AB = AC (gt) mà F là trung điểm AB; E là trung điểm AC => \(AF=BF=AE=CE\)

Xét tam giác BFC và tam giác BEC có:

\(\hept{\begin{cases}BC:chung\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(gt\right)\\BF=EC\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta BFC=\Delta CEB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow CF=BE\)

Vì I là trọng tâm tam giác ABC => \(CI=\frac{2}{3}CF;IF=\frac{1}{3}CF\Rightarrow CI=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2CF\)

Xét tam giác HIC vuông tại H có CI là cạnh huyền => \(CH< CI\Rightarrow CH< 2IF\)

Mà: \(BE=CF\left(cmt\right)\Rightarrow HC< 2IE\left(2\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow HB+HC< 2IE+2IE\)

\(\Rightarrow BC< 4IE\left(cmt\right)\)

PS: Check lại nha bạn

Có mỗi chỗ 2IF mà cậu nhầm thành 2CF thôi,còn lại đúng hết.Cảm ơn vì đã giải

Định k cho cậu mà oniline math nó không cho TT^TT

Ừ hen, viết liền nên nhìn nhầm vậy đó

b) Xét ΔEBC vuông tại E và ΔFCB vuông tại F có 

BC chung

\(\widehat{ECB}=\widehat{FBC}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEBC=ΔFCB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: \(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

Xét ΔBIC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)

nên ΔIBC cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF(Cạnh huyền-góc nhọn)

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF

b: Xét ΔFBC vuông tại F và ΔECB vuông tại E có

FB=EC

FC=EB

BC chung

DO đó: ΔFBC=ΔECB

Suy ra: \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

hay ΔBIC cân tại I

d: Ta có: AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: IB=IC

nên I nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

nên M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,M,I thẳng hàng

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF

b: Ta có: ΔABE=ΔACF

nên BE=CF

Xét ΔFBC vuông tại F và ΔECB vuông tại E có

BC chung

CF=BE

Do đó: ΔFBC=ΔECB

Suy ra: \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

hay ΔIBC cân tại I

c: Ta có: AB=AC
nên A nằm trên đườg trung trực của BC(1)

ta có: IB=IC

nên I nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: MB=MC

nên M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng

a: Xét ΔAEB và ΔAFC có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

AB=AC

\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAEB=ΔAFC
Suy ra: AE=AF

b: Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC

nên EF//BC

c: Xét ΔFBI và ΔECI có 

\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)

FB=EC

\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)

Do đó: ΔFBI=ΔECI

Suy ra: IB=IC

hay I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI\(\perp\)BC

d: Xét ΔBIC có IB=IC

nên ΔBIC cân tại I

a) BE = DC, ΔBEC = ΔCDB.

Vì ΔABC cân tại A nên: AB = AC.

Ta lại có: AB = AE + EB mà AE = EB (gt)

AC = AD + DC mà AD = DC (gt) 

⇒ AE = EB = AD = DC

Vậy BE = DC.

Xét ΔBEC và ΔCDB có:

BE = CD (cmt)

∠ABC = ∠ACB (ΔABC cân)

BC : cạnh chung.

Do đó: ΔBEC = ΔCDB (c.g.c)

b) ΔBGC cân.

Vì ΔBEC = ΔCDB (câu a) 

⇒ ∠ECB = ∠DBC (hai góc tương ứng)

⇒ ΔBGC cân tại G.

Câu c và hình chờ xíu :v  

c) BC <4GD

Kẻ trung tuyến AG ⇒ G là trọng tâm của ΔABC, mà ΔABC cân (gt) ⇒ AG là phân giác của ∠BAC (∠A₁ = ∠A₂) 

AG cắt BC tại H (HB = HC)

Xét ΔABH và ΔACH có:

AB = AC (gt)

BH = HC (cmt)

AH : chung

Do đó: ΔABH = ΔACH (c.c.c)

⇒ ∠H₁ = ∠H₂ (hai góc tương ứng) Mà ∠H₁ + ∠H₂ = 180^o

⇒ ∠H₁ = ∠H₂ = 180^o : 2 = 90^o hay AH ⊥ BC.

Vì ΔBGC cân tại G nên: GB = GC (hai cạnh đáy) Mà GB = 2GD 

⇒ 4GD = DB + GC.

Xét ΔBGH vuông tại H, ta có: BG > BH (định lí) (1)

Xét ΔCGH vuông tại H, ta có: CG > CH (định lí) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BG + CG > BH + CH

Mà GB + CG = 4GD (cmt) và CB = BH + CH

⇒ 4GD > BC