Xét \(\Delta ABC\) có :

MA = MB ; NA = NC

=> MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

=> MN // BC và MN = \(\frac{1}{2}BC\)

Vẽ P sao cho N là trung điểm của \(MP.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(AMN\) và \(CPN\) có:

\(AN=CN\left(gt\right)\)

\(\widehat{ANM}=\widehat{CNP}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(MN=NP\left(=\frac{1}{2}MP\right)\)

=> \(\Delta AMN=\Delta CPN\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{AMN}=\widehat{CPN}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> \(AM\) // \(CP\) hay \(BM\) // \(CP.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\\\widehat{PCM}=\widehat{BMC}\end{matrix}\right.\) (vì 2 góc so le trong)

Xét 2 \(\Delta\) \(BMC\) và \(PCM\) có:

\(\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\left(cmt\right)\)

Cạnh MC chung

\(\widehat{PCM}=\widehat{BMC}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BMC=\Delta PMC\left(g-c-g\right)\)

=> \(BC=MP\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(2.MN=BC\)

=> \(MN=\frac{1}{2}BC\left(đpcm1\right).\)

Vì \(\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\left(cmt\right)\)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> \(MP\) // \(BC.\)

hay \(MN\) // \(BC\left(đpcm2\right).\)

Chúc bạn học tốt!

giúp trả lời giùm vs

Tham khảo:

Câu hỏi của Trịnh Tố Uyên - Toán lớp 7 | Học trực tuyến

Chứng minh định lí Thales thì dùng diện tích nha bạn.

Cụ thể như sau:

Vẽ \(MH,NK\) vuông góc \(BC\) thì thấy ngay \(S\left(BMC\right)=S\left(BNC\right)\) (\(S\) là diện tích hình)

Suy ra \(S\left(AMC\right)=S\left(ANB\right)\) hay \(\frac{S\left(AMC\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{S\left(ANB\right)}{S\left(ACB\right)}\), nghĩa là có câu a.

Mà có câu a thì có câu b

BM=AB-AM=2cm

Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/MB=AN/NC

=>3/NC=2

hay NC=1,5(cm)

=>CA=4,5(cm)

\(BC=\sqrt{6^2+4.5^2}=7.5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/MB=AN/NC

=>4/MB=2/8=1/4

=>MB=16cm

a) Ta có: \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{7.5}{5}=\dfrac{3}{2}\)

Do đó: \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)\(\left(=\dfrac{3}{2}\right)\)

Xét ΔABC có

M∈AB(gt)

N∈AC(gt)

\(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)(cmt)

Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)

b) Xét ΔABI có 

M∈AB(gt)

K∈AI(gt)

MK//BI(MN//BC, K∈MN, I∈BC)

Do đó: \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{AK}{AI}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(1)

Xét ΔACI có 

K∈AI(gt)

N∈AC(gt)

KN//IC(MN//BC, K∈MN, I∈BC)

Do đó: \(\dfrac{KN}{IC}=\dfrac{AK}{AI}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{KN}{IC}\)

mà BI=IC(I là trung điểm của BC)

nên MK=KN

mà M,K,N thẳng hàng

nên K là trung điểm của MN(đpcm)