Question

Cho tam giác ABC lấy M thuộc AB sao cho AM = MB. Lấy điểm N thuộc AC sao cho AN = NC. Chứng minh MN song song với BC và MN = 1/2 BC

Answer 1

Xét \(\Delta ABC\) có :

MA = MB ; NA = NC

=> MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

=> MN // BC và MN = \(\frac{1}{2}BC\)

Answer 2

Vẽ P sao cho N là trung điểm của \(MP.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(AMN\) và \(CPN\) có:

\(AN=CN\left(gt\right)\)

\(\widehat{ANM}=\widehat{CNP}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(MN=NP\left(=\frac{1}{2}MP\right)\)

=> \(\Delta AMN=\Delta CPN\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{AMN}=\widehat{CPN}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> \(AM\) // \(CP\) hay \(BM\) // \(CP.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\\\widehat{PCM}=\widehat{BMC}\end{matrix}\right.\) (vì 2 góc so le trong)

Xét 2 \(\Delta\) \(BMC\) và \(PCM\) có:

\(\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\left(cmt\right)\)

Cạnh MC chung

\(\widehat{PCM}=\widehat{BMC}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BMC=\Delta PMC\left(g-c-g\right)\)

=> \(BC=MP\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(2.MN=BC\)

=> \(MN=\frac{1}{2}BC\left(đpcm1\right).\)

Vì \(\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\left(cmt\right)\)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> \(MP\) // \(BC.\)

hay \(MN\) // \(BC\left(đpcm2\right).\)

Chúc bạn học tốt!