+ ΔABC nhọn ⇒ trực tâm H nằm trong ΔABC.

+ Gọi A’ = V(H; ½) (A)

⇒ A’ là trung điểm AH.

+ Tương tự :

B’ = V(H; ½) (B) là trung điểm BH.

C’ = V(H; ½) (C) là trung điểm CH.

⇒ V(H; ½)(ΔABC) = ΔA’B’C’ với A’; B’; C’ là trung điểm AH; BH; CH.

Giả sử tam giác ABC có H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm tam giác ABC. Ta phải chứng minh tam giác ABC đều.

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF vừa là các đường cao, vừa là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD;

\(AD \bot BC; BE \bot AC; CF \bot AB\)

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

     AD chung

    \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC} (=90^0)\)

     BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.g.c) nên AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng được, AC = BC

Xét tam giác ABC có AB = AC = BC nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác ABC đều.

Tọa độ điểm C:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-x_A-x_B=1\\y_C=3y_I-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow C\left(1;-4\right)\)

Ta có: 

\(\overrightarrow{AH}=\left(a-3;b+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(a+1;b-2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;-3\right)\)

Theo giả thiết 

\(AH\perp BC\Rightarrow2\left(a-3\right)-6\left(b+1\right)=0\Leftrightarrow a-3b=6\left(1\right)\)

\(BH\perp AC\Rightarrow-2\left(a+1\right)-3\left(b-2\right)=0\Leftrightarrow2a+3b=4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{10}{3}\\b=-\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\Rightarrow a+3b=\dfrac{2}{3}\)

Chọn D.

Gọi H (x; y) là trực tâm tam giác ABC nên 

Mà

Suy ra:

Vậy H(2; 2).

Ta có:

Suy ra tam giác ABC vuông tại A do đó trực tâm H trùng với A

Vậy H( -1 ; 3)

Chọn B.

a: A(3;1); B(2;6); C(4;-1)

\(AB=\sqrt{\left(2-3\right)^2+\left(6-1\right)^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\)

\(AC=\sqrt{\left(4-3\right)^2+\left(-1-1\right)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-1-6\right)^2}=\sqrt{2^2+7^2}=\sqrt{53}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=\sqrt{26}+\sqrt{5}+\sqrt{53}\left(đvđd\right)\)

b: Xét ΔABC có 

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{26+5-53}{2\cdot\sqrt{26\cdot5}}\simeq-0,96\)

=>\(\widehat{A}\simeq165^0\)

c: Gọi H(x,y) là trực tâm của ΔABC

\(\overrightarrow{AH}=\left(x-3;y-1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y-6\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-7\right);\overrightarrow{AC}=\left(1;-2\right)\)

H là trực tâm nên ta có: AH\(\perp\)BC và BH\(\perp\)AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-3\right)+\left(-7\right)\left(y-1\right)=0\\1\left(x-2\right)+\left(-2\right)\left(y-6\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-6-7y+7=0\\x-2-2y+12=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-7y=-1\\x-2y=-10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-7y=-1\\2x-4y=-20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=-1+20=19\\x-2y=-10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{19}{3}\\x=-10+2y=-10-\dfrac{38}{3}=-\dfrac{68}{3}\end{matrix}\right.\)

a)

Ta có:

     G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);

     H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);

     I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;

     O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).

Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.

Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

b) 

Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).

Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)

AD chung;

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Tham khảo:

+) Xét tam giác HBC ta có :

HD vuông góc với BC \( \Rightarrow \) HD là đường cao tam giác HBC

BF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) \( \Rightarrow \)BF là đường cao của tam giác HBC

CE vuông góc với HB tại E ( kéo dài HB ) \( \Rightarrow \)CE là đường cao của tam giác HBC

Ta kéo dài HD, BF, CE sẽ cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \) A là trực tâm tam giác HBC

+) Xét tam giác HAB ta có :

HF vuông góc với AB \( \Rightarrow \) HF là đường cao tam giác HAB

BH vuông góc với AE tại E ( kéo dài HB ) \( \Rightarrow \)AE là đường cao của tam giác HAB

BD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) \( \Rightarrow \)BD là đường cao của tam giác HAB

Ta kéo dài HF, BD, AE sẽ cắt nhau tại C

\( \Rightarrow \) C là trực tâm tam giác HAB

+) Xét tam giác HAC ta có :

HE vuông góc với AC \( \Rightarrow \) HE là đường cao tam giác HAC

AF vuông góc với HC tại F ( kéo dài HC ) \( \Rightarrow \)AF là đường cao của tam giác HAC

CD vuông góc với AH tại D ( kéo dài AH ) \( \Rightarrow \)CD là đường cao của tam giác HAC

Ta kéo dài CD, HE, AF sẽ cắt nhau tại B

\( \Rightarrow \) B là trực tâm tam giác HAC.