cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) trên AC lấy 1 điểm N và vẽ đường tròn đường kính NC . kẻ BN cắt đường tròn tại K .đường thẳng KA cắt đường tròn tại H .chứng minh rằng
a) ABCK là tứ giác nội tiếp
b)góc ABK=ACK
c)CA là tia phân giác của HCB
d) biết bán kính của đường tròn là R và GÓC ACB =30 độ . tính độ dài cung nhỏ NH theo R
a: Xét (O) có
ΔCKN nội tiếp
CN là đường kính
=>ΔCKN vuông tại K
Xét tứ giác ABCK co
góc CKB=góc CAB=90 độ
=>ABCK là tứ giác nội tiếp
b: ABCK là tứ giác nội tiếp
=>góc ABK=góc ACK
c: ABCK là tư giác nội tiếp
=>góc ACB=góc AKB
mà góc AKB=góc HCA
nên góc HCA=góc BCA
=>CA làphân giác của góc HCB
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng: ABCD là một tứ giác nội tiếp
⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.
D ∈ đường tròn đường kính MC
⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
hay tứ giác ABCD nội tiếp.
cho tam giác ABC nhọn . vẽ đường tròn đường kính BC , đường tròn này cắt AB,AC tại E và K . BK cắt CE tại H và AH cắt BC tại F
a) chứng minh AF vg với BC tại F và tứ giác AEFC nội tiếp
b) chứng minh FA là phân giác EFK
C)chứng minh tứ giác KEFO nội tiếp
d)KE cắt BC tại S . chứng minh SN vg với ON
a: góc BEC=1/2*sđ cug CB=90 độ
=>CE vuông góc AB
góc BKC=1/2*sđ cung BC=90 độ
=>BK vuông góc AC
Xet ΔABC co
BK,CE là đường cao
BK cắt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AF vuông góc BC tại F
góc AEC=góc AFC=90 độ
=>AEFC nội tiếp
b: góc EFA=góc ABK
góc KFA=góc ACE
mà góc ABK=góc ACE
nên góc EFA=góc KFA
=>FA là phân giác của góc EFK
c: góc BEF=góc BCA
góc AEK=góc ACB
=>góc FEK=180 độ-2*góc BCA
=góc KOC
=>góc FEK+góc KOF=180 độ
=>EKOF nội tiếp
Cho tam giác ABC, vẽ đường tròn (O) đường kinh BC cắt AB tại M và cắt AC tại N. BN cắt CM tại H a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được một đường tròn, b) Chứng minh HMBC = HB MN c) Kẻ AH cắt BC tại K, Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác KMN
a: góc AMH+góc ANH=180 độ
=>AMHN nội tiếp
b: Vì góc BMC=góc BNC=90 độ
nên BMNC nội tiếp
=>góc HMN=góc HBC
mà goc MHN=góc BHC
nên ΔHMN đồng dạng vơi ΔHBC
=>HM/HB=MN/BC
=>HM*BC=HB*MN
c: góc NMH=góc HAC
góc KMH=góc NBC
mà góc HAC=góc NBC
nên góc NMH=góc KMH
=>MH là phân giác của góc NMK(1)
góc MKH=góc ABN
góc NKH=góc ACM
góc ABN=góc ACM
Do đó: góc MKH=góc NKH
=>KH là phân giác của góc MKN(2)
Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔKMN
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB > AC, trên AB lấy điểm K ( K≠A và B). Vẽ đường tròn tâm O đường kính KB. Kẻ tia CK cắt đường tâm (O) tại H. BH cắt CA tại I a) chứng minh tứ giác AIHK và BHAC nội tiếp b) chứng minh IK vuông góc BC c) chứng minh IB.IH = IA.IC
a: góc KHB=1/2*180=90 độ
góc KAI+góc KHI=180 độ
=>KAIH nội tiếp
góc CHB=góc CAB=90 độ
=>CAHB nội tiếp
b: Xét ΔCIB có
CH,BA là đường cao
CH cắt BA tại K
=>K là trực tâm
=>IK vuông góc BC
c: Xét ΔIHC vuông tại H và ΔIAB vuông tại A có
góc I chung
=>ΔIHC đồng dạng với ΔIAB
=>IH/IA=IC/IB
=>IH*IB=IA*IC
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp
b) góc ABD bằng góc ACD
c) CA là tia phân giác của góc SCB
a) 
⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.
D ∈ đường tròn đường kính MC
⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
hay tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Xét đường tròn đường kính BC:
đều là góc nội tiếp chắn cung 
c) + Trong đường tròn đường kính MC:
đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung 
+ Trong đường tròn đường kính BC:
đều là các góc nội tiếp chắn cung 
BÀI 1 cho tam giác ABC vuông tại A .Nữa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D.Trên cung AD lấy một điểm E .Nối BE và kéo dài AC tại F.Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
BÀI 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định ,CD là đường kính thay đổi của đường tròn (O) ( khác AB ) .Tiếp tuyến tại B của (O ) cắt AC và AD lần lượt tại N và M .Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp
BÀI 3 :Cho hai đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại O .Biết OM.ON= PO.OQ.Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp
BÀI 4: Cho tam giác ABC có đường cao AH . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC
a) c/m AMHN nội tiếp
b) BMNC nội tiếp
BÀI 5: Cho tam giác ABC các đường phân giác trong là BE và CF cắt nhau tại M và các đường phân giác ngoài của các góc B và góc C cắt nhau tại N .chứng minh BMCN nội tiếp
BÀI 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB .Gọi M là một điểm trên tiếp tuyến xBy , đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại C , lấy D thuộc BM, nối AD cắt (O) tại I. c/m CIDM nội tiếp
BÀI 7: Cho đường tròn tâm (O) có cung EH và S là điểm chính giữa cung đó .Trên dây EH lấy hai điểm A và B .Các đường thẳng SA và SB cắt đường tròn lần lượt tại D và C .c/m ABCD là tứ giác nội tiếp
BÀI 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB , từ A và B vẽ Ax vuông góc AB và By vuông góc BA (Ax và By cùng phía so với bờ AB ) .Vẽ tiếp tuyến x'My' (tiếp điểm M) cắt Ax tại C và By tại D ; OC cắt AM tại I và OD cắt BM tại K .Chứng minh CIKD nội tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M. Vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn
b) Góc ACB = góc ACS
c) Tính diện tích và chu vi của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, biết AB= 9cm, AC= 12 cm
1. cho tam giác ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB, biết A=600; tính diện tích hình quạt BOC (với O là trung điểm của cạnh AB)
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm E nằm trên cạnh AB và vẽ đường tròn đường kính EB cắt BC tại D. Đường thẳng CE cắt đường tròn tại M, AM cắt đường tròn tại N.
a) Chứng minh rằng:ACBM là tứ giác nội tiếp
b) chứng minh rằng BA là tia phân giác góc CBN
c) Gọi K là giao điểm của AC và BM. CMR KE vuông góc với BC
