Đặt A = n⁵ - n = n.(n⁴ - 1)
= n.(n² + 1)(n² - 1)
= n.(n² + 1)(n - 1)(n + 1) (\(⋮6\), vì \(⋮2,3\)) (1)
= n.(n² - 4 + 5)(n - 1)(n + 1)
= n[(n-2)(n+2)+5](n - 1)(n + 1)
= [n(n-2)(n+2)+5n](n - 1)(n + 1)
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\text{n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) ⋮ 5 }\\\text{5n(n - 1)(n + 1) ⋮ 5 }\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\text{ n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) }⋮5\)
\(\Rightarrow A⋮5\) (2)
Từ (1)(2)=> \(A⋮30\) do (5,6)=1

Lời giải:

\(B=a^{2016}-a^{2012}=a^{2012}(a^4-1)=a^{2012}(a^2-1)(a^2+1)\)

\(=a^{2011}a(a-1)(a+1)(a^2+1)\)

Ta thấy $a,a-1,a+1$ là 3 số nguyên liên tiếp. Do đó trong 3 số luôn tồn tại ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho $3$

$\Rightarrow a(a-1)(a+1)\vdots 2$ và $a(a-1)(a+1)\vdots 3$

Mà $(2,3)=1$ nên $a(a-1)(a+1)\vdots 6$

$\Rightarrow B\vdots 6$ (1)

Mặt khác:

Ta biết một số chính phương khi chia cho $5$ có thể có dư là $0,1,4$

Nếu $a^2\vdots 5$ thì \(B=a^{2012}(a^4-1)=a^2.a^{2010}(a^4-1)\vdots 5\)

Nếu $a^2$ chia $5$ dư $1$: \(\Rightarrow a^2-1\vdots 5\)

\(\Rightarrow B=a^{2012}(a^2-1)(a^2+1)\vdots 5\)

Nếu $a^2$ chia $5$ dư $4$ $\Rightarrow a^2+1\vdots 5$

$\Rightarrow B=a^{2012}(a^2-1)(a^2+1)\vdots 5$

Vậy tóm lại $B\vdots 5$ (2)

Từ $(1);(2)$ mà $(5,6)=1$ nên $B\vdots (5.6)$ hay $B\vdots 30$ (đpcm)

\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) (vì là 3 số nguyên lt)

\(n^3+3n^2+2n-n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3+3n^2+2n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)

\(n^3+3n^2+2n\)

\(=n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

\(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(\)\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Chứng minh : \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\)chia hết cho 5 và 6

\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)chia hết cho 6

Mà (5,6) = 1

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\)chia hết cho 30

\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)chia hết cho 30 

\(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 30 (ĐPCM)

Ta có :

\(n^3-13n=n^3-n-12n=n\left(n^2-1\right)-12n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-12n\)

Với mọi số nguyên n ta có :

+) \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\) (tích của 3 số nguyên liên tiếp )

+) \(12n⋮6\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-12n⋮6\)

\(\Leftrightarrow n^3-12n⋮6\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮2.3\)

\(\Rightarrow a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\forall a\in Z\)

Sai đề r nếu a=2 và n=1 thì aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺⁴=2⁶-2⁵=32 ko chia hết cho 30