a) Ta có: \(\frac{n+19}{n-2}=\frac{n-2+21}{n-2}=1+\frac{21}{n-2}\)

Để phân số tối giản thì: \(\frac{21}{n-2}\in Z\)

\(\Rightarrow21⋮n-2\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(21\right)=\left\{1;-1;3;-3;7;-7;21;-21\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{3;1;5;-1;9;-5;23;-19\right\}\)

\(a,ĐK:x>0;x\ne1\\ b,B=\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\\ c,B=\dfrac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\in Z\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{2;3\right\}\left(x>0\right)\Leftrightarrow x\in\left\{4;9\right\}\left(tm\right)\)

a. Ta tách \(\frac{8a+19}{4a+1}=\frac{\left(8a+2\right)+17}{4a+1}=2+\frac{17}{4a+1}\)

Để biểu thức trên có giá trị nguyên thì \(4a+1\inƯ\left(17\right)=\left\{-1;1;17;-17\right\}\)

Do a là số tự nhiên nên \(a\in\left\{0;4\right\}\)

b. Ta bổ sung là biểu thức có giá trị nguyên lớn nhất:

Gọi \(A=\frac{5a-17}{4a-23}\). A nguyên thì 4A cũng nguyên, hay \(\frac{20a-68}{4a-23}\in Z.\)

\(\frac{20a-68}{4a-23}=5+\frac{47}{4a-23}\)

Vậy thì \(4a-23\inƯ\left(47\right)=\left\{-1;1;47;-47\right\}\)

Do a là số tự nhiên nên \(a=6\)

Với a = 6, A = 13 là giá trị nguyên lớn nhất.

a) \(\frac{8a+19}{4a+1}\)CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN 

\(\Rightarrow8a+19⋮4a+1\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\Rightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)=\left[\pm1;\pm17\right]\)

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(1\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=0\)(TM).

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(-1\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=\frac{-2}{4}\)(LOẠI).

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(17\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=6\)(TM).

\(\Rightarrow\)\(4a+1=\)\(-17\)\(\Rightarrow\)\(a\)\(=\frac{-9}{2}\)(LOẠI).

VẬY \(a\)\(=0\)HOẶC \(a=6\)

mình sẽ giải câu b,

\(A=\frac{5a-17}{4a-23}=\frac{4a-23+a+6}{4a-23}=1+\frac{a+6}{4a-23}.\)

\(\Rightarrow4A=4+\frac{4a+24}{4a-23}=5+\frac{47}{4a-23}\)

4A đạt giá trị GTLN khi 4a-23>0 và 4a-23 đạt GTNN

mà a là số tự nhiên nên suy ra 4a-23 có GTNN là 1 => a=6

\(\Rightarrow4A=5+\frac{47}{4.6-23}=52\)

\(\Rightarrow A=13\)

Vậy \(Max_A=13\)khi \(x=6\)

a: Để 8a+19/4a+1 là số nguyên thì \(8a+2+17⋮4a+1\)

\(\Leftrightarrow4a+1\inƯ\left(17\right)\)

\(\Leftrightarrow4a+1\in\left\{1;-1;17;-17\right\}\)

hay \(a\in\left\{0;4\right\}\)

b: Tham khảo: 

Giải:
Để \(\frac{8a+19}{4a+1}\) có giá trị là số nguyên thì \(8a+19⋮4a+1\)

Ta có:

\(8a+19⋮4a+1\)

\(\Rightarrow\left(8a+2\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow2\left(4a+1\right)+17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow17⋮4a+1\)

\(\Rightarrow4a+1\in\left\{\pm1;\pm17\right\}\)

+) \(4a+1=1\Rightarrow a=0\) ( thỏa mãn )

+) \(4a+1=-1\Rightarrow a=\frac{-1}{2}\)  ( không thỏa mãn )

+) \(4a+1=17\Rightarrow a=4\) ( thỏa mãn )

+) \(4a+1=-17\Rightarrow a=\frac{-9}{2}\) ( không thỏa mãn )

Vậy a = 0 hoặc a = 4

b) Giải:

Để \(\frac{5a-17}{4a-23}\) có giá trị lớn nhất thì \(5a-17⋮4a-23\)

Ta có:
\(5a-17⋮4a-23\)

\(\Rightarrow4\left(5a-17\right)⋮4a-23\)

\(\Rightarrow20a-68⋮4a-23\)

\(\Rightarrow\left(20a-115\right)+47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow5\left(4a-23\right)+47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow47⋮4a-23\)

\(\Rightarrow4a-23\in\left\{\pm1;\pm47\right\}\)

+) \(4a-23=1\Rightarrow a=6\) ( thỏa mãn )

+) \(4a-23=-1\Rightarrow a=\frac{11}{2}\) ( không thỏa mãn )

+) \(4a-23=47\Rightarrow a=\frac{35}{2}\) ( không thỏa mãn )

+) \(4a-23=-47\Rightarrow a=-6\) ( thỏa mãn )

Vì a có giá trị lớn nhất để \(\frac{5a-17}{4a-23}\) có giá trị lớn nhất nên a = 6

Vậy a = 6