3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

ai giỏi ạ

Lời giải:

Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)

\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)

Ta có đpcm.

Lần sau bạn lưu ý đăng 1 bài 1 lần thôi. Đăng nhiều lần coi như spam và sẽ bị xóa không thương tiếc đấy nhé.

mk lớp 7

Dấu '' = '' không xảy ra

Áp dụng BĐT AM-GM:

Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)

\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)

Ta có đpcm.

Em thưa anh:

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\frac{a}{a+1}\)và \(\frac{1}{c+1}\), ta có:

\(\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}=\sqrt{\frac{a}{a+1}.\frac{1}{c+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)\)

\(\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Công vế theo vế, ta có: \(\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}+\sqrt{\frac{b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}}+\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}+\sqrt{\frac{b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}}+\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{3}{2}\)

Nhân cả hai vế với \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)(vì a,b,c>0 nên BĐT lúc này không đổi chiều), ta có đpcm.

Ta còn có:

Bất đẳng thức \(\frac{1}{a\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(b+c\right)}+\frac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{k\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(\frac{2}{9}-k\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)

đúng với mọi a,b,c,k không âm (k = \(\text{constant}\))

có 1 cách mà xài SOS xấu lắm chơi ko :))

tìm thấy rồi Tổng hợp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức-Tập 2: Luyện thi học sinh giỏi toán - Tổng hợp - Google Sách

đây nhé có phải là

\(a-\frac{a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a^3+3abc-a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{a^2+3bc}+\frac{3abc}{a^2+3bc}\)

Đến khi cộng vào thì phải là \(3abc\left(\frac{1}{a^2+3bc}+\frac{1}{b^2+3ac}+\frac{1}{c^2+3ab}\right)\ge\frac{3abc.9}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)

Bài 5: 

Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)

Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :

\(x_2\ge x_1+1\)

\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)

\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)

\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)

\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)

\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)

Do x₁ là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)

Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.