Question

Chứng minh rằng trong 5 số thực bất kì luôn tồn tại 2 số nào đó, gọi là \(a,b\) thỏa \(\left|ab+1\right|>\left|a-b\right|\)

Answer 1

Vai trò a,b không đổi ta giả sử a > b

Ta có : |ab + 1| > |a - b|

=> |ab + 1|² > |a - b|² 

<=> (ab)² + 2ab + 1 > a² + b² - 2ab

<=> (ab)² - a² - b² + 1 + 4ab > 0

<=> (a² - 1)(b² - 1) + 4ab > 0 (1)

Nếu a \(\ge\) b \(\ge\)1 hay -1 \(\ge\) a \(\ge\) b thì (1) luôn đúng

Nếu -1 \(\le\) b \(\le\) a \(\le\) 1 và ab \(\ge\) 0 thì

(a² - 1)(b² - 1) > 0 ; ab > 0 => (1) luôn đúng 

Nếu -1 \(\le\) b \(\le\) a \(\le\) 1và ab \(\le\) 0  (2)

Khi đó nếu trong 5 số thực đó chỉ có số không âm

=> (2) không xảy ra => (1) luôn đúng 

Nếu dãy trên tồn tại ít nhất một số thực a < 0 hay nhiều hơn 

thì (1) luôn đúng do khi đó luôn tồn tại ít nhất cặp số ab > 0  và (2) không xảy ra 

=> ĐPCM