a: Xét (D) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó;ΔBFC vuông tại F

=>CF\(\perp\)FB tại F

=>CF\(\perp\)AB tại F

Xét (D) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)CE tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét tứ giác AFHE có

\(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,E,H,F cùng thuộc đường tròn (O), với O là trung điểm của AH

b: Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm

=>AH\(\perp\)BC

ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD\(\perp\)BC tại D

mà AH\(\perp\)BC và AH,AD có điểm chung là A

nên A,H,D thẳng hàng

=>O,H,D thẳng hàng

OH=OE

=>ΔOHE cân tại O

=>\(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)

mà \(\widehat{BHD}=\widehat{OHE}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{HBD}\right)\)

nên \(\widehat{OEH}=\widehat{BCE}\)

DB=DE

=>ΔDBE cân tại D

=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)

\(\widehat{OED}=\widehat{OEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (O)

a: Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

Xét tứ giác AKEH có \(\widehat{EHA}+\widehat{EKA}=90^0+90^0=180^0\)

nên AKEH là tứ giác nội tiếp

=>A,K,E,H cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\widehat{KAI}\) là góc nội tiếp chắn cung KI

\(\widehat{KBI}\) là góc nội tiếp chắn cung KI

Do đó: \(\widehat{KAI}=\widehat{KBI}\)

=>\(\widehat{KAE}=\widehat{KBC}\)

c: Xét (O) có

ΔAIB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAIB vuông tại I

Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAIB vuông tại I có

\(\widehat{HAE}\) chung

Do đó: ΔAHE đồng dạng với ΔAIB

=>\(\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(AE\cdot AI=AB\cdot AH\)

Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBKA vuông tại K có

góc HBE chung

Do đó: ΔBHE đồng dạng với ΔBKA

=>\(\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BE}{BA}\)

=>\(BH\cdot BA=BE\cdot BK\)

\(AE\cdot AI+BE\cdot BK\)

\(=AH\cdot AB+BH\cdot AB\)

\(=AB^2=4R^2\)

1: ΔABC vuông tại A

=>A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường trung tuyến

nên OD vuông góc AC

Xét tứ giác AHOD có góc AHO+góc ADO=180 độ

nên AHOD nội tiếp đường tròn đường kính AO

2: I nằm giữa O và A

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-IA=R-r

=>(I) tiếp xúc (O) tại A

3: Xét (I) có

ΔAEO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔAEO vuông tại E

Xét tứ giác AEOD có

góc AEO=góc ADO=góc EAD=90 độ

=>AEOD là hình chữ nhật

=>AO cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>E,I,D thẳng hàng

a: Vì góc AKB=góc AHB=90 độ

=>AKHB nội tiếp

b: góc FBC=góc HAC=góc EBC

=>BH là phân giác của góc EBI

chtt

là sao vậy??

Để chứng minh rằng CI = CH, ta sẽ sử dụng các tính chất của các đường tiếp tuyến và hình chiếu.

Vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên góc AOC là góc vuông. Do đó, tam giác AOC là tam giác vuông tại O.

Vì AD và CD là các tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ACD và góc AOD là góc vuông.

Vì H là hình chiếu của C trên AB, nên tam giác CHA và tam giác CDA là đồng dạng (có cạnh góc vuông chung và góc giữa các cạnh tương ứng bằng nhau).

Do đó, ta có:

∠CHA = ∠CDA (1)

Vì BD và CH là hai đường chéo của tứ giác ACDH, nên ta có:

∠BDC = ∠CHD (2)

Từ (1) và (2), ta có:

∠CHA = ∠CDA = ∠BDC = ∠CHD

Vậy, tam giác CHD và tam giác CHA là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có:

∠CHD = ∠CHA

Vì ∠CHA = ∠CDA, nên ta có:

∠CHD = ∠CDA

Vậy, tam giác CHD và tam giác CDA là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Từ đó, ta có:

CH/CD = CD/CHD

CH^2 = CD * CHD

Vì I là giao điểm của BD và CH, nên ta có:

∠CID = ∠CHD

Vậy, tam giác CID và tam giác CHD là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có:

CI/CD = CD/CHD

CI^2 = CD * CHD

Vậy, CI = CH.