Ta có: (x³ + )⁸= C^k₈ x^{3(8 – k)} ()^k = C^k₈ x^{24 – 4k}

Trong tổng này, số hạng C^k₈ x^{24 – 4k} không chứa x khi và chỉ khi

⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.

\(\left(C_n^6+C_n^7\right)+2\left(C_n^7+C_n^8\right)+\left(C_n^8+C_n^9\right)=2C_{n+2}^8\)

\(\Leftrightarrow C_{n+1}^7+2C_{n+1}^8+C_{n+1}^9=2C_{n+2}^8\)

\(\Leftrightarrow\left(C_{n+1}^7+C_{n+1}^8\right)+\left(C_{n+1}^8+C_{n+1}^9\right)=2C_{n+2}^8\)

\(\Leftrightarrow C_{n+2}^8+C_{n+2}^9=2C_{n+2}^8\)

\(\Leftrightarrow C_{n+2}^9=C_{n+2}^8\)

\(\Leftrightarrow n+2=9+8\)

\(\Rightarrow n=15\)

\(\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^{15}\) có SHTQ: \(C_{15}^kx^{2k}.\left(-1\right)^{15-k}.x^{2k-30}=C_{15}^k.\left(-1\right)^{15-k}.x^{4k-30}\)

Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow4k-30=0\) ko có k nguyên thỏa mãn

\(\Rightarrow\) Ko tồn tại số hạng ko chứa x

Đề bài sai

Xét số hạng thứ `k+1`

    `C_8 ^k x^[8-k].(2/x)^k , 0 <= k <= 8`

`=C_8 ^k 2^k x^[8-2k]`

Số hạng ko chứa `x` xảy ra `<=>8-2k=0<=>k=4`

`=>` Với `k=4` có số hạng không chứa `x` là: `C_8 ^4 2^4 =1120`

Lời giải:

\((x+\frac{2}{x})^8=\sum\limits_{k=0}^8C^k_8x^k(2x^{-1})^{8-k}=\sum\limits_{k=0}^8C^k_82^{8-k}x^{2k-8}\)

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển, nghĩa là số mũ của $x$ bằng $0$

$\Leftrightarrow 2k-8=0\Leftrightarrow k=4$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: \(C^4_8.2^{8-4}=1120\)

\(C^1_n+C^2_n=15\) (Điều kiện: \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=15\)

\(\Leftrightarrow2n+n\left(n-1\right)=30\)

\(\Leftrightarrow2n+n^2-n=30\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-30=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=5\\n=-6\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{2}{x^4}\right)^5=C^k_5x^{5-k}\left(\dfrac{2}{x^4}\right)^k=C^k_5x^{5-k-4k}.2^k=C^k_5x^{5-5k}.2^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow5-5k=0\Leftrightarrow k=1\)

\(\Rightarrow C^1_5.2^1=10\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(10\).

Cái chỗ vế phải biểu thức nghĩa là gì thế bạn?

Chắc là thế này \(3A^{n-2}_n\)

\(gt\Leftrightarrow2.n!-\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!=3.\dfrac{n!}{2!}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n!=\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!=\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)=4n+5\Leftrightarrow n=10\)

\(\left(3x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^{10}=\left(3x^3-x^{-2}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}3^{10-k}.x^{3\left(10-k\right)}.\left(-1\right)^k.x^{-2k}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.\left(-1\right)^k.3^{10-k}.x^{30-5k}\)

=> so hang ko chua x:  \(30-5k=0\Leftrightarrow k=6\)

\(\Rightarrow C^6_{10}.\left(-1\right)^6.3^{10-6}=17010\)

tham khảo

\(\left(2x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^4=C^k_4\left(2x^2\right)^{4-k}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)^k\)

\(=C^k_4.2^{4-k}.x^{8-2k-2k}.\left(-1\right)^k\)

\(=C^k_4.2^{4-k}.x^{8-4k}.\left(-1\right)^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow8-4k=0\Leftrightarrow k=2\)

\(\Rightarrow C^2_4.2^{4-2}.\left(-1\right)^2=24\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(24\).

Ta có:

\(2A_n^2=C_{n-1}^2+C_{n-1}^3\) \(\left(n\ge4\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}=\dfrac{\left(n-1\right)!}{2!\left(n-1-2\right)!}+\dfrac{\left(n-1\right)!}{3!\left(n-1-3\right)!}\)

\(\Rightarrow2\cdot n\left(n-1\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

\(\Rightarrow2n=\dfrac{n-2}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

\(\Rightarrow n=14\) hoặc \(n=0\left(loại\right)\)

Với n=14 ta có khai triển:

\(\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^{14}=\sum\limits^{14}_{k=0}\cdot C_{14}^k\cdot\left(x^2\right)^{14-k}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^k\)

                      \(=C_{14}^k\cdot x^{28-4k}\)

Số hạng không chứa x: \(\Rightarrow28-4k=0\Rightarrow k=7\)

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:

\(C_{14}^7\cdot x^{28-4\cdot7}=C_{14}^7=3432\)