Ta có BĐT:\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)(Cách c/m bn có thể tìm trên mạng)

Áp dụng ta có:\(\left(a^3+b^3+c^3\right).9\ge\left(a+b+c\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge\frac{1}{9}\)

Vì \(a,b,c\ge0;a+b+c=1\)\(\Rightarrow0\le a,b,c\le1\)

Đến đây làm tiếp nhé.

Sử dụng Cô-si đi cho đơn giản:

Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{3\sqrt{3}}}=\sqrt{3}a\)

Tương tự: \(b\sqrt{b}+b\sqrt{b}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\ge\sqrt{3}b\); \(c\sqrt{c}+c\sqrt{c}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\ge\sqrt{3}c\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow2\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(VT=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)

\(=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}+c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(\le\frac{a\left(b^2+2\right)}{2}+\frac{b\left(c^2+2\right)}{2}+\frac{c\left(a^2+2\right)}{2}\) ( BĐT cô si )

\(=\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+ab^2+bc^2+ca^2\right)\)

\(=3+\frac{ab^2+b^2c+c^2a}{2}\)

Gỉa sử b là số ở giữa .

\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow b^2+ca\le bc+ab\)

\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le abc+a^2b\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le b\left(a+c\right)^2=\frac{\left(b+b\right)\left(a+c\right)\left(a+c\right)}{2}\le\frac{\left(2a+2b+2c\right)^3}{54}=4\)

\(\Rightarrow VT\le3+\frac{4}{2}=5\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\)xảy ra khi \(b=1;c=2;a=0\) và hoán vị