Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan PT

Cho \(a,b,c\text{ }\ge0\) thỏa \(a+b+c=3\).Chứng minh:

\(3\le a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\le5\)

Nguyễn Việt Lâm
30 tháng 4 2021 lúc 22:43

Ta có: 

\(b\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)

Hoàn toàn tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\ge b\) ;\(c\sqrt{a^3+1}\ge c\)

Cộng vế:

\(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

Lại có:

\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{a\left(b^2+2\right)}{2}\)

Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{b\left(c^2+2\right)}{2}\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{c\left(a^2+2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+a+b+c=\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2+2abc\right)+3\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(Q=ab^2+bc^2+ca^2+2abc\le4\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ab+ac\)

\(\Rightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)

\(\Rightarrow Q\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2=\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị của chúng


Các câu hỏi tương tự
𝖈𝖍𝖎𝖎❀
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thúy Ngân
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
Cấn Minh Khôi
Xem chi tiết
dilan
Xem chi tiết
Mạnh Dũng
Xem chi tiết
Scarlett Ohara
Xem chi tiết
Scarlett Ohara
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết