Đặt: \(x^2+10x+21=t\)

Ta có: \(A=\left(\left(x+2\right)\left(x+8\right)\right)\left(\left(x+4\right)\left(x+6\right)\right)+2008\)

\(=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+2008\)

Thay t vào ta được: \(A=\left(t-5\right)\left(t+3\right)+2008=t^2-2t+15+2008=t^2-2t+2023\)

Vậy A chia t dư 2023

\(P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)+2008\)

\(P\left(x\right)=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+2008\)

Đặt \(a=x^2+10x+21\)

\(\Rightarrow P\left(a\right)=\left(a-5\right)\left(a+3\right)+2008\)

\(P\left(a\right)=a^2-2a+1993\)

\(\Rightarrow P\left(a\right)\) chia \(a\) dư \(1993\)

Có 1 lỗi sai nho nhỏ ở phần cuối

1992 - t = 1992 - (x^2 + 10x + 20) = 1972 - x^2 - 10x

Ờ... đọc không hiểu gì hết mà thôi để dành năm sau học rồi đọc. Cảm ơn nhiều nha :))

Tú mà không làm được câu này á :))

( x - 6 )( x - 7 )( x - 8 )( x - 9 ) - 8

= [ ( x - 6 )( x - 9 ) ][ ( x - 7 )( x - 8 ) ] - 8

= ( x² - 15x + 54 )( x² - 15x + 56 ) - 8 (*)

Đặt t = x² - 15x + 54

(*) <=> t( t + 2 ) - 8

= t² + 2t - 8

= ( t - 2 )( t + 4 )

= ( x² - 15x + 52 )( x² - 15x + 58 )

=> [ ( x - 6 )( x - 7 )( x - 8 )( x - 9 ) - 8 ] : ( x² - 15x + 100 )

= ( x² - 15x + 52 )( x² - 15x + 58 ) : ( x² - 15x + 100 )

Đặt y = x² - 15x + 100

Ta có được phép chia ( y - 48 )( y - 42 ) : y

= y² - 90y + 2016 : y

= [ ( x² - 15x + 100 )² - 90( x² - 15x + 100 ) + 2016 ] : ( x² - 15x + 100 )

Đến đây thì quá dễ rồi :)) dư 2016 nhá

Đề này học kì 1 huyện tớ có.

\(\left[\left(x-6\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)\left(x-9\right)-8\right]:\left(x^2-15x+100\right)\)

Ta có:

\(\left(x-6\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)\left(x-9\right)-8\)

\(=\left(x-6\right)\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)-8\)

\(=\left(x^2-15x+54\right)\left(x^2-15x+56\right)-8\)

Đặt \(x^2-15x+55=a\), lúc đó:

\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)-8\)

\(=a^2-9=\left(a-3\right)\left(a+3\right)\)

\(=\left(x^2-15x+52\right)\left(x^2-15x+58\right)\)

Lại có:

\(\left[\left(x-6\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)\left(x-9\right)-8\right]:\left(x^2-15x+100\right)\)

\(=\left(x^2-15x+52\right)\left(x^2-15x+58\right):\left(x^2-15x+100\right)\)

Đặt  \(x^2-15x+100=b\), lúc đó:

\(\left(b-48\right)\left(b-42\right):b\)

\(=(b^2-90b+2016):b\)

\(=\left[b\left(b-90\right)+2016\right]:b\)

Do đó phép chia \(\left[\left(x-6\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)\left(x-9\right)-8\right]:\left(x^2-15x+100\right)\)dư 2016.

Vậy...

Ta có: \(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)

Áp dụng vào bài

\(A=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)

\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)

\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

Nếu trong tích \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\) có ít nhất 2 thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hết cho 2

Nếu cả 3 thừa số đều không chia hết cho 2, ta có: \(x+y=2k+1;y+z=2q+1\)

\(\Rightarrow2y+x+z=2k+2q+2\)

\(\Leftrightarrow x+z=2k+2q+2-2y\)

\(\Leftrightarrow x+z=2\left(k+q+1-y\right)\)

Vế phải chia hết cho 2 nên vế trái cũng chia hết cho 2

Vậy: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)⋮2\forall x,y,z\in Z\)

\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)⋮6\forall x,y,z\in Z\)

Vậy: \(A⋮6\forall x,y,z\in Z\)