đề đúng ko v

đúng đó bạn ạ

úi lộn k phải 3² mà là 3x^2

Ta có:

\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge A^2\)

\(\Leftrightarrow A^2\le2\left(y^2+yz+z^2\right)+3x^2=36\)

\(\Leftrightarrow-6\le A\le6\) 

min=-6 khi x=y=z=-2

max=6 khi x=y=z=2

gl !!

giải thế nào vậy ban

\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)

\(\Rightarrow2\ge3x^2+2y^2+2z^2+y^2+z^2\) 

\(\Leftrightarrow2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2\)

\(\Rightarrow\)\(A^2\le2\) \(\Leftrightarrow A\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

minA=-1\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=-\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow x=y=z=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

maxA=1\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy=Schwarz ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3}\)

Ta lại có:\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}+1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Em làm lại,cách này mà còn sai nữa thì em xin hàng ạ! Dù sao đi nữa cũng xin mọi người chịu khó góp ý giúp em để em càng ngày càng tiến bộ hơn nữa ạ! Thanks all !

*Tìm min

Đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx thì \(x^2+y^2+z^2=p^2-2q=1\Rightarrow q=\frac{p^2-1}{2}\)

Suy ra \(A=p+q=p+\frac{p^2-1}{2}=\frac{p^2+2p-1}{2}\)

\(=\frac{p^2+2p+1-2}{2}=\frac{\left(p+1\right)^2-2}{2}\ge-\frac{2}{2}=-1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -1.

Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;-1) (chỗ này em không biết giải rõ thế nào nữa :v)

*Tìm max

Ta có BĐT sau: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\le x^2+y^2+z^2\)

Suy ra \(q\le\frac{p^2}{3}\le p^2-2q=1\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q\le p^2-2q=1\\p^2\le3\left(p^2-2q\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}q\le1\\p\le\sqrt{3\left(p^2-2q\right)}=\sqrt{3}\end{cases}}\)

Suy ra \(A=p+q\le\sqrt{3}+1\)

Ta có : 

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\); \(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\); \(x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

hay \(xy+yz+xz\le1\)

Mặt khác : \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)nên \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

hay \(2\left(x+y+z\right)\le4\)\(\Rightarrow x+y+z\le2\)

\(\Rightarrow A=x+y+z+xy+yz+xz\le2+1=3\)

hình như làm thế này sai thì phải