Xét tam giác vuông IBC có:

\(BC^2=IB^2+IC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{IB^2+IC^2}=\sqrt{80}\) cm

Vì ABCD là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AD=BC=\sqrt{80}\)

Xét tam giác vuông AID có:

\(AD^2=AI^2+ID^2\)

\(\Rightarrow ID8=\sqrt{AD^2-AI^2}=8cm\)

*Không vẽ được hình, bạn thông cảm*

Gọi O' là điểm trên IO sao cho \(IO'=\frac{1}{3}IO\)

Xét \(\Delta\)IAO có: \(\frac{IA'}{IA}=\frac{IO'}{IO}\left(=\frac{1}{3}\right)\Rightarrow O'A'//OA\) (định lý Talet đảo)

Do đó: \(\frac{O'A'}{OA}=\frac{IA'}{IA}=\frac{1}{3}\Rightarrow O'A'=\frac{1}{3}R\)

Cmtt ta được: \(O'B'=\frac{1}{3}R;O'C'=\frac{1}{3}R;O'D'=\frac{1}{3}R\)

Bài 2
Quy ước: tất cả đều viết véc tơ:
* Khai thác giả thiết:
+ IA =2IB <=> IA = 2( AB -AI) <=> IA = -2AB <=> AI = 2AB
+ 3JA + 2JC =0 <=> 3JA + 2(JA+ AC) =0 <=> JA = ( -2/5)AC <=> AJ = (2/5) AC
Chỉ ra được vị trí các điểm I, J:
+ I đối xứng với A qua B ( tức B là trung điểm AI)
+ J nằm trên đoạn AC sao cho AJ = 2/5 AC
* Ta có:
+ GI = GA + AI = GA + 2AB
+ GJ = GA + AJ = GA + (2/5) AC
Suy ra:
GI - 5 GJ = -4 GA + 2(AB - AC) = -4GA + 2CB = -4GA + 2(GB -GC)
= -2GA +4GB ( chỗ này có áp dụng tính chất trọng tâm: GA +GB + GC =0)
Do B là trung điểm của AI => 2GB = GA +GI
Suy ra:
GI - 5 GJ = -2GA + 2GA + 2 GI
=> GI = - 5 GJ
Đẳng thức này suy ra I, J, G thẳng hàng => IJ đi qua G (đpcm)

Xét ΔADC và ΔBCD có 

AD=BC

AC=BD

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{ICD}=\widehat{IDC}\)

Xét ΔIDC có \(\widehat{ICD}=\widehat{IDC}\)

nên ΔIDC cân tại I

Suy ra: IC=ID

Ta có: IC+IA=AC

ID+IB=BD

mà AC=BD

và IC=ID

nên IA=IB

     Xét △ADC và △BDC có

             BC = BD

             DC chung

             AD = BC

⇒ △ ADC = △ BCD ( c - c - c )

⇒ \(\widehat{BDC}=\widehat{ACD}\)

⇒ △ IDC cân tại I

⇒ ID = IC ( đpcm )

Mà AC = BD

⇒ IA = IB ( đpcm )