a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

b: Ta có: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

mà P\(\in\)AC và \(AP=\dfrac{AC}{2}\)(P là trung điểm của AC

nên MN//AP và MN=AP

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

P là trung điểm của AC

Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MP//BC và \(MP=\dfrac{BC}{2}\)

mà N\(\in\)BC và \(BM=\dfrac{BC}{2}\)

nên MP//BN và MP=BN

Xét tứ giác AMNP có 

MN//AP

MN=AP

Do đó: AMNP là hình bình hành

Xét tứ giác BMPN có 

MP//BN

MP=BN

Do đó: BMPN là hình bình hành

c) Hình bình hành AMNP trở thành hình vuông khi \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAP}=90^0\\AM=AP\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAC}=90^0\\AB=AC\end{matrix}\right.\)

a, N; P lần lượt là trung điểm của AC; BC (gt)

=> NP là đtb của tam giác ABC (Đn)

=> NP // AB (Đl)

=> góc PNA + CAB = 180 (đl)

có góc CAB = 90 do tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> góc PNA = 90 

chứng minh tương tự với góc PMA 

=> NPMA Là hình chữ nhật

b, N đối xứng với E qua M (gt)

=> M là trung điểm của NE (đn)

M là trung điểm của AB (gt)

=> ANBE là hình bình hành (dấu hiệu)

Xét ΔBCA có 

N là trung điểm của AC

P là trung điểm của BC

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCA

Suy ra: NP//MB và NP=MB

hay BMNP là hình bình hành

a) Xét \(\Delta ABC\)có:

\(AE=BE\)(giả thiết)

\(AD=CD\)(giả thiết)

\(\Rightarrow DE\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DE//BC\)(tính chất) (1)

Và \(2DE=BC\)(tính chất) (2)

Xét \(\Delta GBC\)có:

\(GH=BH\)(giả thiết)

\(GK=CK\)(giả thiết)

\(\Rightarrow HK\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow HK//BC\)(tính chất) (3)

Và \(2HK=BC\)(tính chất) (4)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow ED//HK\)(5)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow2DE=2KH\Rightarrow DE=KH\)(6)

Xét tứ giác DEHK có: (5) và (6).

\(\Rightarrow DEHK\)là hình bình hành (điều phải chứng minh)

b) Xét \(\Delta ABC\)có 2 trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G (giả thiết)

\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Do đó AG đi qua trung điểm của BC.

Mà M là trung điểm của BC (giả thiết)

Suy ra AG đi qua M.

\(\Rightarrow\)3 điểm A, G, M thẳng hàng (điều phải chứng minh).

nfgmhkufhgfjkugyiotrkyhohrfidhgykrtyhijtrknuykotrhin

..................................

BÀI TOÁN VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ PITAGO ĐẢO RẤT HAY.

Đề bài:

Cho DABC vuông tại A có M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC và AC. Lấy D là điểm đối xứng với C qua M.

a. Chứng minh tứ giác ADBC là hình bình hành.

b. Chứng minh  tứ giác AMNP là hình chữ nhật.

c. Gọi E là trung điểm AD. Chứng minh tứ giác AEBN là hình thoi.

d. Đường thẳng qua C và vuông góc với BC cắt AB tại F. Chứng minh PE ^ PF.

Giải:

a. Tứ giác ADBC có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

b. Trong tam giác ABC, MN và NP là các đường trung bình nên song song với các đáy AC và AB. Mà AB AC nên MNAB và NP AC.

Tứ giác AMNP có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

c. Vì tứ giác ADBC là hình bình hành nên AD = BC.

Suy ra AE = AN = BN (1)

Mặt khác, vì tứ giác ADBC là hình bình hành nên DB // AC, mà  AC AB  nên DB AB => Tam giác ABD vuông tại B => EB = AE (2).

Từ (1) và (2) suy ra AE = AN = BN = EB => AEBN là hình thoi.

d. Kéo dài AF một đoạn FG sao cho F là trung điểm của AG.

Trong tam giác vuông BCF có BF² = BC² + CF²

ó (2MA + AF)² = (2MA)² + AC² + AC² + AF²

ó 4MA² + 4MA.AF + AF² = 4MA² + 2AC² + AF² ó 4MA.AF = 2AC² (3)

Ta có: MG² = (MA + 2AF)² = MA² + 4MA.AF + 4AF² . Thế (3) vào ta có:

MG² = MA² + 2AC² + 4AF² . Thế AG = 2AF hay AG² = 4AF² vào ta có:

MG² = MA² + 2AC²  + AG² = MC² – AC² + 2AC²  + AG²  = MC² + AC² + AG²

ó MG² = MC² + CG² => Tam giác MCG vuông tại C (Định lý Pitago đảo)

ð     MC CG (4).

Mặt khác PE là đường trung bình trong tam giác ADC nên PE // CD (5)

Và PF là đường trung bình trong tam giác AGC nên PF // CG (6).

Từ (4), (5) và (6) suy ra PE PF (đpcm).

Xem thêm: http://baigiang.violet.vn/present/show/entry_id/11881288