Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{\begin{matrix}a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\\b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\c^2+1\ge2\sqrt{c^2}=2c\end{matrix}\right.\)

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta được:

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a\cdot2b\cdot2a=8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\) 

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=1\left(1\right)\) 

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự:\(b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(P\ge1+\frac{8abc}{8abc}=2\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

:))

ở phần cô si phần cuối là bn sai r

vì >= nhưng ở dưới mẫu nên bị đảo lại thành =< nên bn lm như thế k đúng

đay là link giải https://diendan.hocmai.vn/threads/bdt-a-2-b-2-c-2-dfrac-8abc-a-b-b-c-c-a-geq-2.341255/

Em không chắc đâu nha....Em mới học BĐT nên còn khá ngu về phần này,xin được chỉ giáo thêm ạ! :D

Biển đổi P trở thành\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\) (như a/c Con Chim 7 Màu gì đó)

\(=\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\right)+\left(\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)-1+2\)

\(=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+2\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+2\)

\(=\Sigma\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-b\right)^2+2\)

Để cho gọn,ta đặt \(P=S_c\left(a-b\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_a\left(b-c\right)^2+2\) 

Với \(S_c=\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\) (như trên)

\(S_a=\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)

\(S_b=\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)

Ta đi chứng minh: \(S_a;S_b;S_c\ge0\).Thật vậy,xét S_c:

Ta chứng minh \(S_c=\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2c\left(ab+bc+ca\right)\) (biến đổi làm cho 2 vế đồng bậc)

Chuyển vế qua ta cần chứng minh \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(a-c\right)\ge0\) (1)

Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\)BĐT (1) đúng nên \(S_c\ge0\)

Do tính đối xứng của P nên ta cũng có \(S_b;S_c\ge0\)

Từ đây suy ra \(=\Sigma\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-b\right)^2+2\ge2\left(đpcm\right)\)

Có anh bảo e bình phương nên e cũng bình phương thử xem ạ:3 ( Hình như cái này là BĐT Mincốpski )

\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+b\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge4a^2c^2+8abcd+4b^2d^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2d^2-8abcd+4b^2c^2\ge0\)

Đến đây bí rồi:((((((

zZz Cool Kid zZz bình phương sai huống hồ không bí:))

\(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\) nhé! Thiếu số 2 phía trước kìa

tth_new Viết thiếu thôi mà bác"((( Làm gì mà căng:(

Câu 1:

a/ Bình phương 2 vế:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)

b/ Giả sử d đi qua điểm cố định \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow mx_0-\left(2x_0+y_0-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2x_0+y_0-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\) Tam giác đã cho đều

Câu 2 (Bổ Sung) : Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều

Não đặc-.-

Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek

Bài 1: CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) với a,b,c dương

Bài làm:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}\)

\(=1-1=0\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r

bài 1 là AM-GM ở vt xong biến đổi tương đương phải không ạ ?