Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{\begin{matrix}a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\\b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\c^2+1\ge2\sqrt{c^2}=2c\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta được:
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a\cdot2b\cdot2a=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho a+b+c=1.cmr
a)a.b2 .c3 < 1:432
b) b+c > 16abc
c) (1-a)(1-b)(1-c) > 8abc
d)(a+b)(b+c)(a+c)> 8abc
e) a2 (1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) > 6abc
Chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc. Với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1
chứng minh (1-a)(1-b)(1-c)>=8abc với a,b,c>=0 và a+b+c=1
CHO A,B,C >0 VÀ A + B + C = 1. CHỨNG MINH RẰNG :
(1-A)(1-B)(1-C) ≥ 8ABC
1)cho a,b,c >0. \(cmr:\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
2) cho a,b,c>0 và a+b+c=1. \(cmr:\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64\)
3) cho a,b,c>0. \(cme:\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\)
4) cho a,b,c>0 .\(cmr:\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\)
5)cho a,b,c>0. cmr: \(\dfrac{1}{a\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{b\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\dfrac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
1.Cho a,b,c dương, a+b+c≤1.CMR: \(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\ge10\)
2.Cho a,b, c >0. CMR: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82};x+y+z\le1\)
cho a b c là các số thực dương. cmr a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+1)+1/(a^2+1)>=(a+b+1)/2
1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Cmr \(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge1\)
2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\). Cmr: \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
3.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=3\). Cmr:\(\sqrt{\dfrac{a^2}{b+b^2+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{c+c^2+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{a+a^2+b}}\le3\)
Cho a,b,c>0 sao cho ab+bc+ac=3. CMR
1/(a^2+b^2+2016)+1/(b^2+c^2+2016)+1/(c^2+a^2+2016) >= 3/2018
