Cho \(m,n,p>0\) thỏa \(m+n+p=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}\).Chứng minh:
\(P=mn+np+pm+\dfrac{3}{m+n+p}\ge4\)
Cho m, n, p là các số dương thỏa mãn \(mn+np+pm=1\) . Rút gọn biểu thức
\(B=m\sqrt{\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(p^2+1\right)}{m^2+1}}+n\sqrt{\dfrac{\left(p^2+1\right)\left(m^2+1\right)}{n^2+1}}+p\sqrt{\dfrac{\left(m^2+1\right)\left(n^2+1\right)}{p^2+1}}\)
Xét \(n^2+1=n^2+mn+np+pm=n\left(m+n\right)+p\left(m+n\right)=\left(m+n\right)\left(n+p\right)\)
Tương tự: \(m^2+1=\left(m+n\right)\left(m+p\right)\)
\(p^2+1=\left(p+m\right)\left(p+n\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(p^2+1\right)}{m^2+1}=\dfrac{\left(n+p\right)^2\left(m+n\right)\left(m+p\right)}{\left(m+n\right)\left(m+p\right)}\)
\(=\left(n+p\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(p^2+1\right)}{m^2+1}}=n+p\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{\left(p^2+1\right)\left(m^2+1\right)}{n^2+1}}=m+p\)
\(\sqrt{\dfrac{\left(m^2+1\right)\left(n^2+1\right)}{p^2+1}}=m+n\)
\(\Rightarrow B=m\left(n+p\right)+n\left(m+p\right)+p\left(m+n\right)\)
\(=2\left(mn+np+pm\right)=2\)
Vậy B=2
cho \(\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\right)\)(với m,n,p#0,n#p)Chứng minh rằng\(\dfrac{m}{n}=\dfrac{m-p}{p-m}\)
Với \(z\) là ẩn; \(m\), \(n\), \(p\) là các số và \(m\ne-n;n\ne-p;p\ne-m\).
Giải phương trình: \(\dfrac{z-mn}{m+n}+\dfrac{z-np}{n+p}+\dfrac{z-pm}{p+m}=m+n+p\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z-mn}{m+n}-p+\dfrac{z-np}{n+p}-m+\dfrac{z-pm}{p+m}-n=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z-\left(mn+mp+np\right)}{m+n}+\dfrac{z-\left(mn+mp+np\right)}{n+p}+\dfrac{z-\left(mn+mp+np\right)}{p+m}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[z-\left(mn+mp+np\right)\right]\left(\dfrac{1}{m+n}+\dfrac{1}{m+p}+\dfrac{1}{n+p}\right)=0\)
- Nếu \(\dfrac{1}{m+n}+\dfrac{1}{m+p}+\dfrac{1}{n+p}=0\) thì pt nghiệm đúng với mọi z
- Nếu \(\dfrac{1}{m+n}+\dfrac{1}{m+p}+\dfrac{1}{n+p}\ne0\)
\(\Rightarrow z=mn+mp+np\)
Cho các số a,b,c dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+a+b+c\ge4\left(\dfrac{a}{a^4+1}+\dfrac{b}{b^4+1}+\dfrac{c}{c^4+1}\right)\)
\(\dfrac{1}{a^3}+a\ge2\sqrt{\dfrac{a}{a^3}}=\dfrac{2}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b^3}+b\ge\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{1}{c^3}+c\ge\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+a+b+c\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) (1)
Lại có \(\dfrac{4a}{a^4+1}\le\dfrac{4a}{2\sqrt{a^4}}=\dfrac{4a}{2a^2}=\dfrac{2}{a}\)
Tương tự \(\dfrac{4b}{b^4+1}\le\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{4c}{c^4+1}\le\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow4\left(\dfrac{a}{a^4+1}+\dfrac{b}{b^4+1}+\dfrac{c}{c^4+1}\right)\le2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) (2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+a+b+c\ge4\left(\dfrac{a}{a^4+1}+\dfrac{b}{b^4+1}+\dfrac{c}{c^4+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
IMO 1979 - Bài 1:
Cho m, n là những số nguyên dương thỏa mãn:
\(\dfrac{m}{n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}\)
Chứng minh rằng: m chia hết cho 1979
1, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = ab + bc + ca
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{2a+3b+c}+\dfrac{1}{3a+b+2c}\le\dfrac{3}{16}\)
2, Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = xyz. Tìm GTLN của
\(P=\dfrac{1}{x+2y+3}+\dfrac{1}{y+2z+3}+\dfrac{1}{z+2x+3}\)
Cho các số dương x;y;z thỏa mãn điều kiện\(\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{x+y}{2x-y}+\dfrac{y+z}{2z-y}\ge4\)
Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn \(\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}\). Chứng minh: \(\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{3mn}\)
a) Cho x, y \(\ge\)0 thỏa mãn \(x^2+y^2\le2\). Tìm Min của \(M=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\)
b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 4. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\ge1\)