Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

\(x^2y^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2-2xy\left(x+y-2\right)=2\)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

\(3y^2+6y=1+\sqrt{1999-x^2-2x}\)

Tìm tất cả các số nguyên x và y sao cho:

\(9x^2+3y=y^2+8\)

Tìm các số nguyên x và y sao cho:

\(x^4+x^2-y^2+y+10=0\)

Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:

\(\left(y+1\right)^4+y^4=\left(x+1\right)^2+x^2\)

Một thước gỗ có khối lượng riêng D = 450kg/m3, tiết diện đều, chiều dài L = 12cm được giữ thẳng đứng và nằm hoàn toàn trong nước, đầu trên của nó cách mặt nước một đoạn H(cm). Khi thả thước ra, thước đi lên theo phương thẳng đứng. Biết khối lượng riêng của nước là D0 = 1000kg/m3. Bỏ qua lực cản của nước và không khí.

a) Chứng minh rằng: với mọi điều kiện của H, khi đi lên đến độ cao cực đại, thước nhô lên hẳn khỏi mặt nước?

b) Cho H = 3cm, thước có thể lên đến độ cao cực đại là bao nhiêu?

Một thước thẳng bằng gỗ có trọng lượng riêng 7000N/m3 sẽ nổi thẳng đứng hay nằm ngang trên mặt nước? Nếu gắn thêm vào đầu thước một miếng chì có trọng lượng bằng 1/2 trọng lượng của thước thì thước sẽ nằm trong tư thế nào? (Coi thể tích của miếng chì không đáng kể so với thể tích của thước)

Một bình thông nhau chứa nước, các tâm của chúng đều cách nhau một khoảng bằng a. Chúng được đậy kín bằng các pitton có cùng độ dày và làm từ cùng một loại vật liệu. Các pitton được gắn với cần thẳng đứng và các cần này gắn vào thanh AB bằng các khớp xoay.

Hỏi phải gắn một vật nặng thích hợp vào vị trí nào trên thanh AB để thanh cân bằng tại vị trí nằm ngang? Đường kính của các pitton là d1,d2,d3. Các cần và thanh AB có khối lượng rất nhỏ và có thể bỏ qua.