a:

Sửa đề: \(I\left(\dfrac{1}{2};-3\right)\)

Thay \(x=\dfrac{1}{2};y=-3\) vào (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\), ta được:

\(\left(1-2m\right)\cdot\dfrac{1}{2}+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-m+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>-3=-3(đúng)

vậy: I(1/2;-3) là điểm cố định mà (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\) luôn đi qua

b: \(\left(d\right):y=\left(2m+1\right)x+m-2\)

\(=2mx+x+m-2\)

\(=m\left(2x+1\right)+x-2\)

Điểm mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=0\\y=x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Giả sử đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định  \(I\left(x_0;y_0\right)\) \(\Rightarrow\) với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0-m+2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)+x_0-y_0+2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-1=0\\x_0-y_0+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\\y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy  \(I\left(1;3\right)\)

a.

Giả sử điểm cố định mà (d) đi qua có tọa độ \(M\left(x_0;y_0\right)\)

Với mọi m, ta có:

\(y_0=\left(m+2\right)x_0+m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)+2x_0-y_0=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-1;-2\right)\)

b. Để (d) cắt 2 trục tạo thành tam giác thì \(m\ne\left\{0;-2\right\}\)

Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\dfrac{m}{m+2};0\right)\\B\left(0;m\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|\dfrac{m}{m+2}\right|\\OB=\left|m\right|\end{matrix}\right.\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2}{\left|m+2\right|}=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=m+2\\m^2=-m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

a. Gọi $I(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua. Ta có:

$y_0=(m+1)x_0-m+2, \forall m$

$m(x_0-1)+(x_0+2-y_0)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0-1=0\\ x_0+2-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy $I(1,3)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua với mọi $m$

b. 

$A(0,a)$ là giao của $(d)$ với trục $Oy$

$B(b,0)$ là giao của $(d)$ với trục $Ox$

Nếu $m=-1$ thì $y=3$

Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $3$

Nếu $m\neq -1$ thì:

$a=(m+1).0-m+2=-m+2$

$b=\frac{m-2}{m+1}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

$=\frac{1}{(m-2)^2}+\frac{(m+1)^2}{(m-2)^2}=\frac{m^2+2m+2}{(m-2)^2}$
$\Rightarrow h=\frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+2m+2}}$

a) Gọi M(x₀;y₀) là điểm cố dịnh mà (d) luôn đi qua

Ta có: M(x₀;y₀) thuộc (d) : \(y_0=\left(3m-2\right)x_0+m-2\)

                           \(\Leftrightarrow3mx_0-2x_0+m-2-y_0=0\)

                            \(\Leftrightarrow m\left(3x_0+1\right)-\left(2x_0+y_0\right)=0\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x_0+1=0\\2x_0+y_0=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=\frac{-1}{3}\\2.\left(\frac{-1}{3}\right)+y_0=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x_0=\frac{-1}{3}\\y_0=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)

Vậy \(M\left(\frac{-1}{3};\frac{2}{3}\right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi giá trị của m

\(a,\) Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m+2\right)x_0+m\\ \Leftrightarrow mx_0+m+2x_0-y=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)+\left(2x_0-y_0\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-1;-2\right)\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) là điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m

\(b,\) PT giao Ox tại A và Oy tại B: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow\left(m+2\right)x=-m\Rightarrow x=-\dfrac{m}{m+2}\Rightarrow A\left(-\dfrac{m}{m+2};0\right)\Rightarrow OA=\left|-\dfrac{m}{m+2}\right|\\x=0\Rightarrow y=m\Rightarrow B\left(0;m\right)\Rightarrow OB=\left|m\right|\end{matrix}\right.\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left|-\dfrac{m}{m+2}\right|\left|m\right|=1\\ \Leftrightarrow\left|-\dfrac{m^2}{m+2}\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{m^2}{m+2}=1\\\dfrac{m^2}{m+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m^2=m+2\\m^2=m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+m+2=0\left(vô.n_0\right)\\m^2-m-2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy ...