Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, một điểm \(M\left(x,y,z\right)\) được gọi là điểm nguyên nếu \(x,y,z\inℤ\). Cho đa diện lồi A₁A₂...A_n với \(n\ge4\) đỉnh và các A_i đều là các điểm nguyên với mọi \(1\le i\le n\). Biết rằng trên mỗi cạnh, mặt và ở miền trong của đa diện đều này không có điểm nguyên nào ngoài các A_i. Tìm giá trị lớn nhất có thể của \(n\).

1.Cho đường tròn (0) . Tam giác ABC nội tiếp đường tròn . Các đường cao CF , BE , AD , H là trực tâm của tam giác ABC . Gọi K là điểm đối xứng vs H qua BC . AA' là đường kính a, Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp b, chứng minh EF vuông góc với AO c, gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh 3 điểm H , I , A' thẳng hàng d, Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh diện tích AGH = 2 diện tích AGO

2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ các đỉnh là các số nguyên. Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm nằm trong ngũ giác đó có tọa độ là các số nguyên

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm A 1 ,   A 2 ,   . . . ,   A 10 và trên tia Oy lấy 10 điểm B 1 ,   B 2 ,   . . . . ,   B 10  thỏa mãn O A 1   =   A 1 A 2   =   . . . =   A 9 A 10   =   O B 1   =   B 1 B 2   =   . . . . =   B 9 B 10   =   1 (đvd). Chọn ra ngẫu nhiên một tam giác có đỉnh nằm trong 20 điểm A 1 ,   A 2 ,   . . . . ,   A 10 ,   B 1 ,   B 2 ,   . . . ,   B 10 . Xác suất để tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy là 

A .   1 228

B .   2 225

C .   1 225

D .   1 114

Mỗi câu sau đây đúng hay sai ?

a. Tam giác và tứ giác không phải là đa giác

b. Hình gồm n đoạn thẳng đôi một có một điểm chung được gọi là đa giác (với n là số tự nhiên lớn hơn 2)

c. Hình gồm n đoạn thẳng (n là số tự nhiên lớn hơn 2) trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng được gọi là đa giác.

d. Hình tạo bởi nhiều hình tam giác được gọi là đa giác

e. Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác lồi

f. Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi

g. Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi.

Mỗi câu sau đây đúng hay sai ?

a) Tam giác và tứ giác không phải là đa giác

b) Hình gồm n đoạn thẳng đôi một có một điểm chung được gọi là đa giác (với n là số tự nhiên lớn hơn 2)

c) Hình gồm n đoạn thẳng (n là số tự nhiên lớn hơn 2) trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đa giác

d) Hình tạo bởi nhiều hình tam giác được gọi là đa giác

e) Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác lồi

f) Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi

g) Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;5) và hai mặt phẳng (P): 2x + y + 3z - 7 = 0, (Q): 3x - 2y - z + 1 = 0. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (P) và điểm N nằm trên mặt phẳng (Q) thỏa mãn A M → = 2 A N → . Khi M di động trên mặt phẳng (P) thì quỹ tích điểm N là một đường thẳng có phương trình là

A.  x = - 3 - 5 t y = - 1 + 11 t z = 6 - 7 t

B.  x = 1 + 7 t y = - 8 - 5 t z = 6 - 7 t

C.  x = 7 + 11 t y = - 8 - 5 t z = - 8 - 7 t

D.  x = 2 + 5 t y = 3 + 11 t z = - 1 - 7 t

 1) Gọi \(d\) là tổng độ dài các đường chéo của một đa giác lồi trong mặt phẳng có \(n\) đỉnh, \(n>3\). Gọi \(p\) là chu vi của đa giác đó. Chứng minh rằng

 \(n-3< \dfrac{2d}{p}< \left[\dfrac{n}{2}\right]\left[\dfrac{n+1}{2}\right]-2\)

 (với \(\left[x\right]\) là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\))

 2) Tìm tất cả các hàm số \(f:ℕ^∗\rightarrowℕ^∗\) thỏa mãn điều kiện

 \(f\left(x+f\left(y\right)\right)=y+f\left(x+2022\right);\forall x,y\inℕ^∗\)