Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )

Tương tự ta có :

\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)

\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)

Cộng vế với vế các BĐT trên có :

\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)

\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)

\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)

Cần C/m:

\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)

Ta có: 

\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)

=> ĐPCM

Bấm vào câu hỏi tương tự 

hoặc lên Học24h 

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

tao loa

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

a)Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế suy ra \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra tại a = b = c

\(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\dfrac{c}{a}.\dfrac{c}{b}\ge1\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}\ge\dfrac{\left(c+b\right)^2}{c^2+b^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\dfrac{c}{a}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{a}\right)^2+1}\ge\dfrac{\left(\dfrac{c}{b}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{b}\right)^2+1}\)

Đặt \(\left(\dfrac{c}{a};\dfrac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge1\\y>x\Rightarrow y-x>0\end{matrix}\right.\) (1)

BĐT cần c/m trở thành: \(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge\dfrac{\left(y+1\right)^2}{y^2+1}\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^2+1}\ge\dfrac{y}{y^2+1}\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x\ge x^2y+y\Leftrightarrow xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(y-x\right)\ge0\)  luôn đúng theo (1)

Vậy BĐT đã cho được c/m 

Dấu "=" xảy ra khi \(xy=1\) hay \(c=\sqrt{ab}\)