mik nghĩ là : 222222222222

Xét dãy số:2,22,222,...,22...22(131 chữ số 2) có 131 số.

Nếu có số chia hết cho 131 thì bài toán được chứng minh.

Nếu ko có số nào chia hết cho 131 thì có 131 phép chia có số dư thuộc{1;2;3;...;130}.Có nhiều nhất 130 số dư khác nhau.

Suy ra tồn tại 2 phép chia có số dư bằng nhau khi chia cho 131. Khi đó có hiệu của chúng chia hết cho 131.

Ta giả sử 2 số đó là :

222...2(m chữ số 2) và 222...2( n chữ số 2).   (m>n; m,n thuộc{1;2;3;..;131}.

Và 22...2(m chữ số 2)- 22..2( n chữ số 2)  chia hết cho 131.

Suy ra 22...20000...0( m - n chữ số 2 và n chữ số 0) chia hết cho 131.

Suy ra 222..2(m - n chữ số 2)× 10^n  Chia hết cho 131.

Mà 10^ n và 131 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra 222...2( m -n chữ số 2) chia hết cho 131.

 Vậy luôn tồn tại 1 bội của 131 gồm toàn chữ số 2.

Bạn gọi như sau:
a1=7
a2=77
a3=777
......
a32=77777.....7777(gồm 32 số 7)
Đem chia cho 31 ta có 32 số số dư
R1;R2:R3;R4;....:R32 nhưng chỉ nhận 31 giá trị(0;1;2;3;4;5;6;.....;30) nên sẽ có 2 số dư trùng nhau
chẳng hạn Rm=Rn (Với m>n) thì am-an chia hết cho 31 (vì đồng dư),ta lại có
777..7(gồm m chữ số 7)-77...7(gồm n chữ số 7)=777...7(gồm m-n số 7)00....0(gồm n số 0)=777...7 nhân 10^n chia hết cho 31
vi 10^n và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau nên suy ra 777..7 chia hết cho 31 .
Vì bài này chỉ chứng minh chứ ko phải tìm số nhé :D 

Xét dãy số: 1; 11; 111; 1111; ...; 111...1 (32 số 1)

Ta đã biết 1 số tự nhiên khi chia cho 31 chỉ có thể có 31 loại số dư là dư 0; 1; 2; ...; 30. Có 32 số mà chỉ có 31 loại số dư nên theo nguyên lí Đirichlet sẽ có ít nhất 2 số cùng dư

Hiệu của 2 số này chia hết cho 31 và chỉ gồm toàn chữ số 0 và 1 (đpcm)

Chọn bộ 13 số sau:
1,11,...111111 (13 chữ số 1)
Đem chia 13 số trên cho 12.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 111..111 (m chữ số 2) và 111.111 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 13
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 12 nên
[111.111 (m chữ số 2) - 111.111 (n chữ số 2)] chia hết cho 12
=>111.11100...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 12
hay 111.111(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 12
=>111.111 (m-n chữ số 2) chia hết cho 12
=> đpcm.

11111111

111111111111 là đáp án ko tin bạn thứ tính đi

1.1111111e+13

Xét các số:

 2,22 , 222,..., 2222...222

                        14 chữ số 2

1 số  tự nhiên khi chia cho 13 sẽ có thể có các số dư là 0,1, 2, 3,..., 12 ( 13  số dư ) mà  dãy trên có 14 số nên theo nguyên lí Diricle sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 13

 Giả sử 2 số đó là

     222...22             và            222...22

   m chữ số 2                        n chữ số 2                  ( m, n thuộc N*,   0<m<n \(\le\)20 )

=>      222...22          \(_-\)222...22        \(⋮\)13

      n chữ số 2             m chữ số 2

<=>   222...222 000....00            \(⋮\)    13

n-m chữ số 2      m chữ số 0

<=>  222..222      x    10^m      \(⋮\)13

   n-m chữ số 2

       Mà ( 10^m, 13 ) = 1

=> 222....2222          \(⋮\)13

n-m chữ số 2

          Vậy tồn tại 1 số tự nhiên gồm toàn chữ số 2 là bội của 13.

                      Hok tốt

Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.

Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.

Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.