a) Xét tứ giác AMCK:

I là trung điểm của AC (gt).

I là trung điểm của MK (K là điểm đối xứng với M qua I).

Mà \(\widehat{AMC}=90^o\left(AM\perp BC\right).\)

=> Tứ giác AMCK là hình chữ nhật (dhnb).

b) Xét tam giác ABC cân tại A: AM là đường cao (gt).

=> AM là trung tuyến (Tính chất tam giác cân).

=> M là trung điểm của BC.

=> BM = MC.

Ta có: AK = MC (Tứ giác AMCK là hình chữ nhật).

          BM = MC (cmt).

=> AK = MC = BM.

Ta có: AK // MC (Tứ giác AMCK là hình chữ nhật).

=> AK // BM.

Xét tứ giác AKMB:

AK // BM (cmt).

AK /= BM (cmt).

=> Tứ giác AKMB là hình bình hành (dhnb).

c) Tứ giác AMCK là hình vuông (gt).

=> AK = AM (Tính chất hình vuông).

Mà AK = BM (cmt).

=> AM = BM = AK.

Mà BM = \(\dfrac{1}{2}\) BC (M là trung điểm BC).

=> AM = BM = AK = \(\dfrac{1}{2}\) BC.

Xét tam giác ABC cân tại A: 

AM = \(\dfrac{1}{2}\) BC (cmt).

=> Tam giác ABC vuông cân tại A.

a: Xét tứ giác ADCH có 

I là trung điểm cuả AC

I là trung điểm của HD

Do đó: ADCH là hình bình hành

mà \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên ADCH là hình chữ nhật

Lời giải:

a. $M,N$ đối xứng nhau qua $O$ nghĩa là $O$ là trung điểm $MN$

Tứ giác $AMBN$ có 2 đường chéo $AB, MN$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $AMBN$ là hbh $(1)$

Mặt khác, tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM\perp BC$ nên $\widehat{AMB}=90^0(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AMBN$ là hình chữ nhật

b. Vì $AMBN$ là hcn nên $BM\parallel AN$ và $BM=AN$

Mà $B,M,C$ thẳng hàng và $BM=MC$ nên:

$AN\parallel CM, AN=CM$

$\Rightarrow ACMN$ là hình bình hành 

c. 
$ACMN$ là hbh nên $MN\parallel AC$

Để $ACMN$ là hình vuông thì $MN\perp AB$

$\Leftrightarrow AC\perp AB$

$\Leftrightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm chung của AC và MK

góc AMC=90 đô

Do dó: AMCK là hình chữ nhật

b: Để AMCK là hình vuông thì AM=CM=BC/2

=>ΔABC vuông tại A

c: BM=BC/2=3cm

=>AM=4cm

S_MAKC=3*4=12cm²

a) Xét tứ giác AHCE có:

+ D là trung điểm của AC (gt).

+ D là trung điểm của HE (do E đối xứng với H qua D).

=> Tứ giác AHCE là hình bình hành (dhnb).

Mà ^AHC = 90^o (AH vuông góc BC).

=> Tứ giác AHCE là hình chữ nhật (dhnb).

Xét tứ giác AHBN có:

+ M là trung điểm của AB (gt).

+ M là trung điểm của  HN (do N đối xứng với H qua M).

=> Tứ giác AHBN là hình bình hành (dhnb).

Mà ^AHB = 90^o (AH vuông góc BC).

=> Tứ giác AHBN là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật (cmt).

=> AE // HC (Tính chất hình chữ nhật).

Xét tứ giác AEHI có:

+ AE // IH (do AE // HC).

+ AI // EH (gt).

=> Tứ giác AEHI là hình bình hành (dhnb).

c) Ta có: AE = IH (Tứ giác AEHI là hình bình hành).

Mà AE = HC (Tứ giác AHCE là hình chữ nhật).

=> IH = HC.

=> H là trung điểm IC.

Xét tứ giác CAIK có:

+ H là trung điểm của IC (cmt).

+ H là trung điểm của AK (AH = HK).

=> Tứ giác CAIK là hình bình hành (dhnb).

Mà AK vuông góc IC (do AH vuông góc BC).

=> Tứ giác CAIK là hình thoi (dhnb).

a: Xét tứ giác ADCH có

M là trung điểm chung của AC và HD

góc AHC=90 độ

Do đó: ADCH là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ADHE có

AD//HE

AD=HE

Do đó: ADHE là hình bình hành