a) Xét tam giác ABC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AC^2=9^2+12^2=225\\BC^2=15^2=225\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

=> Tam giác ABC vuông tại A(Pytago đảo)

b) Áp dụng tslg trong tam giác ABC vuông tại A:

\(\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\\sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}\approx37^0\\\widehat{B}\approx53^0\end{matrix}\right.\)

c) Áp dụng HTL:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=9,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có Ah đường cao

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-BH=15-5,4=9,6\left(cm\right)\)

a) taco BC=15\(\Rightarrow BC^2=225\)

\(AB=9\rightarrow AB^2=81\)

\(AC=12\Rightarrow AC^2=144\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=81+144=225\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABCvuôngtạiA\)

Áp dụng định lí Pi - ta  go \(\Delta ABC\)vuông tại A :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

Áp dụng hẹ thức về cạnh và đường cao cho \(\Delta ABC\) có đường cao AH :

AB.AC=BC.AH

=> AH = AB.AC/BC

=> AH = 12.16/20

=> AH=9, 6( cm )

Ta có : \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BC.BH}{BC.CH}=\frac{BH}{CH}=\frac{12^2}{16^2}=\frac{9}{16}\)

\(\Rightarrow CH=\frac{16BH}{9}\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho tam giác ABC  và đường cao AH :

\(\Rightarrow BH.\frac{16BH}{9}=AH^2\)

=> BH² = \(AH^2:\frac{16}{9}=9,6^2:\frac{16}{9}=51,84\)

=> BH = 7,2 ( cm )

=> CH = AH² / BH = 12,8 ( cm )

Áp dụng tính chất của tia phân giác tam giác ABC phân giác AD

BD/AB=DC/AC

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau :

BD/AB=CD/AC=BD+CD/AB+AC = BC/AB+AC=5/7

=> DC/AC=5/7

=> DC = 5AC/7

=> DC = 80/7 ( cm )

Mà HD + HC = CD

=> HD = 80/7-12,8 = 

Áp dụng định lý Pytago ta có:

           \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

          \(AB^2=HB.BC\)

\(\Rightarrow\)\(HB=\frac{AB^2}{BC}=7,2\)

\(\Rightarrow\)\(HC=BC-HB=12,8\)

AD là phân giác nên ta có:  \(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{20}{12+16}=\frac{5}{7}\)

suy ra:  \(\frac{DB}{AB}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow\)\(DB=8\frac{4}{7}\)  \(\Rightarrow\)\(HD=DB-HB=1\frac{13}{35}\)

            \(\frac{DC}{AC}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow\)\(DC=11\frac{3}{7}\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=20\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{144}{20}=7,2\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{256}{20}=12,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vì AD là phân giác nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow BD=\dfrac{3}{4}DC\)

Mà \(BD+DC=BC=20\Leftrightarrow\dfrac{7}{4}DC=20\Leftrightarrow DC=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HD=CH-CD=12.8-\dfrac{80}{7}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao 

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao 

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

a: BC=20(cm)

AH=9,6(cm)

BH=7,2(cm)

CH=12,8(cm)

mình chịu thoiii

Gì nhiều vậy???

a) Ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB.AC=AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.16}{20}=\dfrac{48}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{16^2}{20}=\dfrac{64}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\angle B\approx37\)

b) tam giác AHE vuông tại H có HN là đường cao \(\Rightarrow AN.AE=AH^2\)

tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao \(\Rightarrow AH^2=HB.HC\)

\(\Rightarrow AN.AE=HB.HC\)

c) tam giác AHB vuông tại H có HM là đường cao \(\Rightarrow AH^2=AM.AB\)

\(\Rightarrow AN.AE=AM.AB\Rightarrow\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EABchung\\\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AN}{AB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta AEB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{BE}{MN}\)

mà \(BE=3MN\Rightarrow\dfrac{BE}{MN}=3\Rightarrow\dfrac{AE}{AM}=3\Rightarrow AE=3AM\)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=12^2+16^2=400\)

hay BC=20(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot20=16\cdot12=192\)

hay AH=9,6(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow HB^2=16^2-9.6^2=163.84\)

hay HB=12,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\)

hay \(\widehat{B}\simeq37^0\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(HB\cdot HC=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHE vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AE, ta được:

\(AN\cdot AE=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(HB\cdot HC=AN\cdot AE\)