\(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\\ \Leftrightarrow f\left(\sqrt{3}-1\right)=a\left(4-2\sqrt{3}\right)+b\left(\sqrt{3}-1\right)+2020=2021\\ \Leftrightarrow4a-2a\sqrt{3}+b\sqrt{3}-b-1=0\\ \Leftrightarrow\left(4a-b-1\right)-\sqrt{3}\left(2a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow4a-b-1=\sqrt{3}\left(2a-b\right)\)

Vì a,b hữu tỉ nên \(4a-b-1;2a-b\) hữu tỉ

Mà \(\sqrt{3}\) vô tỉ nên \(\sqrt{3}\left(2a-b\right)\) hữu tỉ khi \(2a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b-1=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow f\left(1+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4+2\sqrt{3}\right)+1+\sqrt{3}+2020=2023+2\sqrt{3}\)

f(x) = ax\(^2\)+bx + 2019

=> \(f\left(1+\sqrt{2}\right)=a\left(1+\sqrt{2}\right)^2+b\left(1+\sqrt{2}\right)+2019=2020\)

<=> \(a+2\sqrt{2}a+2a+b+\sqrt{2}b-1=0\)

<=> \(\left(3a+b-1\right)+\sqrt{2}\left(2a+b\right)=0\)(1)

Vì a, b là số hữu tỉ => 3a + b -1 ; 2a + b là số hữu tỉ khi đó:

(1) <=> \(\hept{\begin{cases}3a+b-1=0\\2a+b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=-2\end{cases}}\)

=> \(f\left(1-\sqrt{2}\right)=2020\)

\(x=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2-1}=3+2\sqrt{2}\)

Gọi \(x_1\) là nghiệm còn lại của pt đã cho

Theo Vi-ét, ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}3+2\sqrt{2}+x_1=-\dfrac{b}{a}\\x_1\left(3+2\sqrt{2}\right)=\dfrac{1}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3+2\sqrt{2}+x_1=-\dfrac{b}{a}\\x_1=\dfrac{1}{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{a}\end{matrix}\right.\)

Thế pt dưới lên pt trên, ta được:

\(3+2\sqrt{2}+\dfrac{3-2\sqrt{2}}{a}=-\dfrac{b}{a}\\ \Leftrightarrow a\left(3+2\sqrt{2}\right)-3-2\sqrt{2}=-b-6\\ \Leftrightarrow\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(a-1\right)=-b-6\)

Vì a,b hữu tỉ nên \(a-1;-b-6\) hữu tỉ

Mà \(3+2\sqrt{2}\) vô tỉ nên \(a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

\(\Leftrightarrow-b-6=0\Leftrightarrow b=-6\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(1;-6\right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\inℚ\left(1\right)\\16a+4b+c\inℚ\left(2\right)\\81a+9b+c\inℚ\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (2) => 80a+20b+5c\(\inℚ\)kết hợp với (3) => a-11b-4c\(\inℚ\left(4\right)\)

Từ (2) có: 48a+12c+3c\(\inℚ\left(5\right)\)

Từ (4)(5) => 49a+b-c \(\inℚ\)kết hợp với (1) => 50a+2b\(\inℚ\)=> 25a+b\(\inℚ\left(6\right)\)

Từ (6)(1) => 24a-c\(\inℚ\)kết hợp với (2) => 40a+4b \(\inℚ\)=> 10a+b \(\inℚ\)kết hợp với (6) => 15a\(\inℚ\)

=> a\(\inℚ\)kết hợp với (6) => b\(\inℚ\)

Ta có đpcm

Ta có:

f(−2)+f(3)=((−2)2a−2b+c)+(32a+3b+c)=(4a−2b+c)+(9a+3b+c)=13a+b+2c=0f(−2)+f(3)=((−2)2a−2b+c)+(32a+3b+c)=(4a−2b+c)+(9a+3b+c)=13a+b+2c=0

Suy ra⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{f(−2)>0f(3)<0{f(−2)<0f(3)>0⇒f(−2).f(3)<0

vậy......

\(13a+b+2c=0\Rightarrow b=-13a-2c\)

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(f\left(-2\right).f\left(3\right)=\left(4a-2b+c\right)\left(9a+3b+c\right)\)

\(=\left(4a-2\left(-13a-2c\right)+c\right)\left(9a+3\left(-13a-2c\right)+c\right)\)

\(=\left(4a+26a+4c+c\right)\left(9a-39a-6c+c\right)\)

\(=\left(30a+5c\right)\left(-30a-5c\right)\)

\(=-\left(30a+5c\right)^2\le0\)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=-b=-\dfrac{1}{6}c\)

dấu bằng xảy ra khi a = -b = -1/6c