a. 
+ Trong $\Delta ABC$, đường cao $AH$ và $CE$ cắt nhau tại $H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow BH \perp AC$.

+ Ta có $\widehat{HDB} = 90^{\circ}$ ($AD \perp BC$) và

$\widehat{HEB} = 90^{\circ}$ ($CE \perp AB$)

$\Rightarrow \widehat{HDB} + \widehat{HEB} = 180^{\circ}$.

Mà trong tứ giác $HEBD$, $\widehat{HDB}$ và $\widehat{HEB}$ là hai góc đối nhau.

Suy ra $HEBD$ là tứ giác nội tiếp.

b. 

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta MAC$ có:

$\widehat{AMC}$ chung

$\widehat{MAB} = \widehat{MCA}$ (cùng chắn cung $AB$)

$\Rightarrow \Delta MBA \sim \Delta MAC$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}$ 

$\Rightarrow MA^2 = MB.MC$.

c. 

Kẻ đường kính $AG$ và $AD$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E$.

Ta có $\widehat{BCE} = \widehat{BAE}$ (cùng chắn cung BE$)

Mà $\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow \widehat{BCE} = \widehat{DCE}$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta CED$ có:

$\widehat{BCE} = \widehat{DCE}$

$CD$ chung

$\widehat{CDH} = \widehat{CDE} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta CHD = \Delta CED$ (g.c.g)

$\Rightarrow \widehat{HCD} = \widehat{ECD}$ hay $CD$ vừa là đường cao, vừa là phân giác của $\Delta CHE$.

$\Rightarrow \Delta CHE$ cân tại $C \Rightarrow CD$ là trung trực của đoạn thẳng $HE$.

Suy ra $NH = NE$ (do $N$ thuộc $CD$) (1)

Chứng minh $CBEG$ là hình thang cân 

Vì $\widehat{AEG} = 90^{\circ}$ nên $AE \perp GE$

Mà $AE \perp BC$ nên $CB // EG$

Suy ra $CBEG$ là hình thang mà hình thang nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $CBEG$ là hình thang cân.

$N$ là trung điểm $BC$ nên $\Delta NCG = \Delta NBE$ (c.g.c)

Suy ra $NE = NG$ (2)

Ta có $\widehat{NFG } = 90^{\circ} \Rightarrow NG>NF$ (3) 

Từ (1), (2) và (3) suy ra $NH > NF$.

a) Nối CE, CF

Xét \(\Delta CEK\) và \(\Delta CFK\) có:

  \(\widehat{ECK}\)= \(\widehat{CFK}\) (vì cùng chắn  \(\widebat{CE}\))

  \(\widehat{CKF}\) chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta EKC~\Delta CKF\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\frac{EK}{CK}=\frac{CK}{FK}\)

\(\Rightarrow CK^2=EK.FK\)(1)

Vì \(\Delta COK\)vuông tại C, \(CM\perp OK\)

\(\Rightarrow CK^2=MK.OK\)(2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow EK.FK=MK.OK\)

                   \(\Rightarrow\frac{EK}{MK}=\frac{OK}{FK}\)

Xét \(\Delta MEK\)và \(\Delta KOF\)có:

        \(\widehat{MKE}\)chung 

         \(\frac{EK}{MK}=\frac{OK}{FK}\)

\(\Rightarrow\Delta MEK~\Delta FOK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{EMK}\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác EMOF nội tiếp

Câ b

a.

Do MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow AM\perp OA\Rightarrow\Delta OAM\) vuông tại A

\(\Rightarrow O,A,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Do \(OK\perp BC\Rightarrow\Delta OKM\) vuông tại K

\(\Rightarrow O,K,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Rightarrow M,A,O,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Hay tứ giác MAOK nội tiếp đường tròn đường kính OM, với tâm là trung điểm J của OM và bán kính \(R=\dfrac{OM}{2}\)

b.

Do \(AI||BC\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{AKM}\) (so le trong)

Lại có MAOK nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{AOM}\) (cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{AOM}\) (1)

Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{AMO}=90^0\) (\(\Delta OAM\) vuông tại A theo c/m câu a)

\(\Rightarrow\widehat{IAK}+\widehat{AMO}=90^0\)

c.

Gọi E là trung điểm AI \(\Rightarrow OE\perp IA\)

Mà \(IA||BC\Rightarrow OE\perp BC\Rightarrow O,E,K\) thẳng hàng

\(\Rightarrow KE\) đồng thời là đường cao và trung tuyến trong tam giác KAI

\(\Rightarrow\Delta KAI\) cân tại K \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{IAK}\) \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{AOM}\) (theo (1))

Mặt khác \(\widehat{AIK}\) và \(\widehat{AOD}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AD của (O)

\(\Rightarrow\widehat{AIK}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOD}\Rightarrow\widehat{AOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOM}+\widehat{MOD}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{MOD}\)

Xét hai tam giác AOM và DOM có:

\(\left\{{}\begin{matrix}OM\text{ chung}\\\widehat{AOM}=\widehat{MOD}\left(cmt\right)\\AO=DO=R\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AOM=\Delta DOM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ODM}=\widehat{OAM}=90^0\)

\(\Rightarrow MD\) là tiếp tuyến của (O)

giúp mk vs ạ mk đang cần gấp

IK² = IO² - R² 
IH² = (MH/2)²= (MA²/2MO)² = (MO² - R²)²/(2MO)² 
∆MIK cân <=> IM = IK <=> IH = IK 
<=> (MO² - R²)² = 4MO²(IO² - R²) 
<=> (MO² + R²)² = (2.MO.IO)² 
<=> MO² + R² = 2MO.IO 
<=> R² = MO(2IO - MO) = MO.HO đúng

a: góc MNO+góc MPO=180 độ

=>MNOP nội tiếp

Xét (O) có

MN,MP là tiếp tuyến

=>MN=MP

mà ON=OP

nên OM là trung trực của NP

=>OM vuông góc HP

b: ΔOMN vuông tại N có NH vuông góc OM

=>MH*MO=MN^2

Xét ΔMAN và ΔMNB có

góc MNA=góc MBN

góc M chung

=>ΔMAN đồng dạng với ΔMNB

=>MN^2=MA*MB=MH*MO

=>MA/MH=MO/MB

=>ΔMAH đồng dạng với ΔMOB

=>góc MHA=góc MBO

=>góc MHA=góc BHO

=>góc AHN=góc BHN

=>HN là phân giác của góc AHB