Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d):

\(2x^2=mx+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\)  (1)

Có ac=2.(-1)=-2 => Pt (1) luôn có hai nghiệm pb trái dấu => (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm khác phía nhau so với trục tung.

Giả sử \(A\left(x_1;2x^2_1\right);B\left(x_2;2x^2_2\right)\) là hai gđ của (d) và (P) với x_1;x₂ là hai nghiệm của pt (1)

Giả sử x₁<0<x₂

Gọi A' ; B' là hình chiếu của A và B lên trục Ox

=>\(AA'=2x^2_1;BB'=2x^2_2\)

\(OA'=\left|x_1\right|=-x_1\) ; \(OB'=\left|x_2\right|=x_2\)

Có \(S_{OAB}=S_{A'ABB'}-S_{OAA'}-S_{OBB'}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3m}{2}=\dfrac{1}{2}.A'B'\left(AA'+BB'\right)-\dfrac{1}{2}.OA'.AA'-\dfrac{1}{2}.OB'.BB'\)

\(\Leftrightarrow3m=\left(-x_1+x_2\right)\left(2x^2_1+2x^2_2\right)+x_1.2x^2_1-x_2.2x^2_2\)

\(\Leftrightarrow3m=-2x_1^3-2x_1.x_2^2+2x_1^2.x_2+2x_2^3+2x_1^3-2x_2^3\)

\(\Leftrightarrow3m=2x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow3m=2.\left(-\dfrac{1}{2}\right).-\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\) (do x₁<x₂ =>x₁-x₂<0)

\(\Leftrightarrow3m=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2-4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)\(=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9m^2=\dfrac{m^2}{4}+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^2=\dfrac{8}{35}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=\dfrac{2\sqrt{70}}{35}\)

Vậy...

(Bạn kiểm tra lại xem, có thể mk sẽ tính nhầm nhưng dạng làm vẫn như thế)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx+m-1=0\)

\(a+b+c=0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow m-1\ne1\Rightarrow m\ne2\)

Do hiển nhiên \(1< 2\)  nên \(x_1< x_2< 2\Rightarrow m-1< 2\)

\(\Rightarrow m< 3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m< 3\end{matrix}\right.\)

a (tóm tắt lại): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=mx-m+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó \(\Delta>0\Leftrightarrow m\ne2\).

b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm là x=1 và x=m-1. Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt là x₁, x₂ và vai trò của x₁, x₂ trong biểu thức A là như nhau nên ta giả sử \(x_1=1;x_2=m-1\left(m\ne2\right)\)

Từ đây ta có:

\(A=\dfrac{2.1.\left(m-1\right)}{1^2+\left(m-1\right)^2+2\left[1+1.\left(m-1\right)\right]}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m-1\right)^2+2+2\left(m-1\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m^2-2m+1\right)+2+2m-2}=2.\dfrac{m-1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow A\left(m^2+2\right)=2\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow Am^2-2m+2\left(A+1\right)=0\left(2\right)\)

Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 tham số A ẩn x, ta có:

\(\Delta'\left(2\right)=1^2-2A\left(A+1\right)=-2\left(A^2+A\right)+1=-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\)

Để phương trình (2) có nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\Rightarrow-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\le A\le\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Để phương trình (2) có nghiệm kép thì: \(\Delta'\left(2\right)=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{A}\)

\(MinA=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}=1-\sqrt{3}\)

\(MaxA=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}=\sqrt{3}+1\)

a) Thay x=4 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{4^2}{2}=\dfrac{16}{2}=8\)

Thay x=4 và y=8 vào (d), ta được:

\(m\cdot4-m+2=8\)

\(\Leftrightarrow3m=6\)

hay m=2

Vậy: m=2

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(\dfrac{x^2}{2}=mx-m+2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+m-2=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-2\right)\)

\(=m^2-2\left(m-2\right)\)

\(=m^2-2m+4\)

\(=m^2-2m+1+3\)

\(=\left(m-1\right)^2+3>0\forall m\)

Do đó: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt(Đpcm)