Ta có: f(0)=1

<=> ax² +bx+c=1

<=> c=1

          f(1)=0

<=>ax² +bx+c=0

<=> a+b+c=0

mà c=1

=>a+b=-1(1)

      f(-1)=10

<=> ax² +bx +c=10

<=>a-b+c=10

mà c=1

=>a-b=9(2)

Lấy (1) trừ (2) ta được (a+b)-(a-b)=-1-9

                           <=> 2b=-10

                           <=> b=-5

                           =>a=4

Vậy a=4,b=-5,c=1

Nhớ k đúng cho mik

Vì đa thức g(x) là đa thức bậc 3 và mọi nghiệm của f(x) cũng là của g(x) nên:

G/s \(g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-c\right)\) \(\left(c\inℝ\right)\)

Khi đó: \(x^3-ax^2+bx-3=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-c\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-ax^2+bx-3=\left(x^2+2x-3\right)\left(x-c\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-ax^2+bx-3=x^3-\left(c-2\right)x^2-\left(2c+3\right)x+3c\)

Đồng nhất hệ số ta được:

\(\hept{\begin{cases}a=c-2\\b=-2c-3\\c=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-1\\c=-1\end{cases}}\)

Vậy a = -3 , b = -1

đồng nhất hệ số mình chưa học nha

-Đề thiếu, giải hệ 4 ẩn phải có 4 phương trình.

Lời giải:

Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n$ với $a_i$ nguyên với $i=\overline{0,n}$

Ta có:

\(f(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+...+a_na^n; f(b)=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n\)

\(\Rightarrow f(a)-f(b)=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)\)

Dễ thấy: $a^j-b^j\vdots a-b$ với mọi $j\geq 1$ nên $f(a)-f(b)\vdots a-b$

 Ta có đpcm.

Giả sử \(f\left(x\right)=m_nx^n+m_{n-1}x^{n-1}+...+m_1x+m_0\) với \(m_0;m_1;...;m_n\in Z\).

Ta có \(f\left(a\right)-f\left(b\right)=m_n\left(a^n-b^n\right)+m_{n-1}\left(a^{n-1}-b^{n-1}\right)+...+m_1\left(a-b\right)\).

Dễ thấy tổng trên chia hết cho a - b với mọi a, b nguyên.

Vậy ta có đpcm.

Giả sử f(x) = c₀ + c₁x + ... + c_nxⁿ với c₀, c₁, ..., c_n là các số nguyên

f(a) - f(b) = (c_n.aⁿ + ... + c₁.a + c₀) - (c_n.bⁿ + ... + c₁.b + c₀)

= c_n(aⁿ - bⁿ) + ... + c₁(a - b) + (c₀ - c₀)

= c_n(a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + b^n-1) + ... + c₁(a - b)

= (a - b)(...) ⋮ (a - b)

Vậy bài toán đã được chứng minh