Lời giải:
a) Xét tam giác $HEA$ và $HDB$ có:

$\widehat{HEA}=\widehat{HDB}=90^0$

$\widehat{EHA}=\widehat{DHB}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \triangle HEA\sim \triangle HDB$ (g.g)

b) Xét tam giác $CKD$ và $CDA$ có:

$\widehat{C}$ chung

$\widehat{CKD}=\widehat{CDA}=90^0$ 

$\Rightarrow \triangle CKD\sim \triangle CDA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{CK}{CD}=\frac{CD}{CA}\Rightarrow CD^2=CK.CA$ (đpcm)

c) Xét tam giác $ADK$ và $DCK$ có:

$\widehat{AKD}=\widehat{DKC}=90^0$

$\widehat{ADK}=\widehat{DCK}$ (cùng phụ $\widehat{KDC}$)

$\Rightarrow \triangle ADK\sim \triangle DCK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AD}{DC}=\frac{DK}{CK}\Leftrightarrow \frac{FD}{2DC}=\frac{DK}{2CN}$

$\Rightarrow \frac{FD}{DC}=\frac{DK}{CN}$

Tam giác $FDK$ và $DCN$ đồng dạng với nhau do:

$\frac{FD}{DC}=\frac{DK}{CN}$ (cmt)

$\widehat{FDK}=\widehat{DCN}$ (cùng phụ $\widehat{KDC}$)

$\Rightarrow \frac{DFK}=\widehat{CDN}$

$\Rightarrow \widehat{DFK}+\widehat{FDN}=\widehat{CDN}+\widehat{FDN}$

$\Leftrightarrow 180^0-\widehat{FSD}=\widehat{FDC}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{FSD}=90^0$ nên ta có đpcm.

Hình vẽ:

a) Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có 

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA\(\sim\)ΔHDB(g-g)

Lấy Q là trung điểm DS, AQ // FS

=> HQ // KS (H thuộc AQ, K thuộc FS)

Ta có

          HQ // KS (cmt)

          Q là trung điểm DS (gt)

  => H là trung điểm DK

Xét △DKC có

                 H là trung điểm DK (cmt)

                 N là trung điểmm KC (gt)

  => HN là đường trung bình △DKC

=> HN // DC (tính chất đường trung bình)

Vì AD ⊥ DC (đường cao AD)

=> HN ⊥ AD

Xét △DAN có

c) Lấy điểm Q là trung điểm DS

Vì  AF = AD (gt)

=> A là trung điểm FD

Xét △FDS có

     A là trung điểm FD (cmt)

     Q là trung điểm DS (gt)

=> AQ là đường trung bình △FDS

=> AQ // FS (tính chất đường trung bình)

=> HQ // KS ( H thuộc AQ, K thuộc FS)

Ta có  

     HQ // KS (cmt)

     Q là trung điểm DS (gt)

  => H là trung điểm DK

Xét △DKC có

          H là trung điểm DK (cmt)

          N là trung điểm KC (gt)

  => HN là đường trung bình △DKC

=> HN // DC ( tính chất đường trung bình)

Vì DC ⊥ AD (đường cao AD)

=> HN ⊥ AD

Ta có DK ⊥ AC (gt)

Mà N thuộc AC

=> DK ⊥ AN

Xét △DAN có

         DK là đường cao thứ nhất (DK ⊥ AN)

         HN là đường cao thứ hai (HN ⊥ AD)

         HN và DK cắt nhau tại H

  => H là trực tâm △DAN

Mà AQ đi qua trực tâm H

=> AQ là đường cao thứ 3

=> AQ ⊥ DN

Vì AQ // FS (cmt)

=> FS ⊥ DN

Mình làm câu đầu tiên nhé :)

a) Xét tam giác ABM và tam giác DMC có :

BM = CM ( gt )

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)

AM = DM ( gt )

\(\Rightarrow\)\(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAM}=\widehat{DCM}\)( 2 góc tương ứng bằng nhau )

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên suy ra AB // CD 

Tự mà làm lấy

chịu. nhình rối hết cả mắt @-@