Question

Cho △ ABC nhọn (AB<AC) có 2 đường cao AD, BE cắt nhau tại H. DK vuông góc AC tại K. Có △HEA đồng dạng △HDB. Có CD² = CK.CA

a) N là trung điểm CK. Trên tia đối AD lấy F sao cho AF = AD

Chứng minh FK vuông góc DN tại S

Answer 1

Lấy Q là trung điểm DS, AQ // FS

=> HQ // KS (H thuộc AQ, K thuộc FS)

Ta có

          HQ // KS (cmt)

          Q là trung điểm DS (gt)

  => H là trung điểm DK

Xét △DKC có

                 H là trung điểm DK (cmt)

                 N là trung điểmm KC (gt)

  => HN là đường trung bình △DKC

=> HN // DC (tính chất đường trung bình)

Vì AD ⊥ DC (đường cao AD)

=> HN ⊥ AD

Xét △DAN có

  

 

Answer 2

c) Lấy điểm Q là trung điểm DS

Vì  AF = AD (gt)

=> A là trung điểm FD

Xét △FDS có

     A là trung điểm FD (cmt)

     Q là trung điểm DS (gt)

=> AQ là đường trung bình △FDS

=> AQ // FS (tính chất đường trung bình)

=> HQ // KS ( H thuộc AQ, K thuộc FS)

Ta có  

     HQ // KS (cmt)

     Q là trung điểm DS (gt)

  => H là trung điểm DK

Xét △DKC có

          H là trung điểm DK (cmt)

          N là trung điểm KC (gt)

  => HN là đường trung bình △DKC

=> HN // DC ( tính chất đường trung bình)

Vì DC ⊥ AD (đường cao AD)

=> HN ⊥ AD

Ta có DK ⊥ AC (gt)

Mà N thuộc AC

=> DK ⊥ AN

Xét △DAN có

         DK là đường cao thứ nhất (DK ⊥ AN)

         HN là đường cao thứ hai (HN ⊥ AD)

         HN và DK cắt nhau tại H

  => H là trực tâm △DAN

Mà AQ đi qua trực tâm H

=> AQ là đường cao thứ 3

=> AQ ⊥ DN

Vì AQ // FS (cmt)

=> FS ⊥ DN