cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Gọi O là tâm ABCD; M,N lần lượt là trung điểm AB,AD.
1. BD vuông góc (ACC'A') và A'C vuông góc(BDC'), A'C vuông góc AB', (BDC') vuông góc(ACC'A') và (MNC) vương góc (ACC'A')
2. Tính d(C,(BDC')),d(C,(MNC'))
3. Tính tan(AC,(MNC')) và tan((BDC'),(ABCD))
4. Tính cosin((MNC'),(BDC'))
5. Tính d(AB',BC')
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi S là giao điểm của A'C' và B'D'. Tính tỉ số thể tích của hình chóp S.ABCD và hình lập phương.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, A C ∩ B D = O , A ' C ' ∩ B ' D ' = O ' . M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CC’. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương là hình
A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, A C ∩ B D = O , A ' C ' ∩ B ' D ' = O ' . M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CC’. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương là hình:
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D. Lục giác
Cho tam giác ABC= A'B'C', D và D' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh BD=B'D' và góc ADB= góc A'D'B'
+, Có `D;D'` lần lượt là trung điểm của `AC;A'C'`
`=>BD` là trung tuyến của `Delta ABC` ; `B'D'` là trung tuyến của `Delta A'B'C'`
mà `Delta ABC=Delta A'B'C'`
nên `BD=B'D'`(đpcm)
+, `Delta ABC=Delta A'B'C'`
`=>AC=A'C'` ( 2 cạnh tương ứng )
mà `D;D'` lần lượt là td của `AC;A'C'`
nên `AD=A'D'`
Xét `Delta ABD` và `Delta `A'B'D'`có
`{:(BD=B'D'(cmt)),(AB=A'B'(Delta ABC=Delta A'B'C')),(AD=A'D'(cmt)):}}`
`=>Delta ABD=`Delta `A'B'D'` (c.c.c)
`=>hat(ADB)=hat(A'D'B')` ( 2 góc tương ứng ) (đpcm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ.
a) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng BC' và A'D'; DD' và AB; AA’ và A’C'.
b) Chứng minh A'C' vuông góc với (BB'D'). Từ đó chứng minh A'C' vuông góc BD'.
c) Chứng minh B O = B B ' + 1 4 B ' A ' 2 + B ' C ' 2
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'
a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC' và A'C cắt nhau và hai đường chéo BD' và B'D cắt nhau
b) Cho E và F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh MN = EF ?
Cho tam giác ABC, vẽ điểm A' đối xứng với A qua C, điểm B' đối xứng với B qua A, vẽ điểm C' đối xứng với C qua B. D và D' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:
a) ABD'D là hình bình hành
b) Gọi O là giao điểm của các đường trung tuyến BD và B'D'. chứng minh O là trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C'
Cho hình hộp chũ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của AC' và A'C.
a) Chứng minh B,O,D' thẳng hàng
b) Tính thể tích hình hộp chữ nhật, biết AD=4cm, AB=3cm, BD'=12cm
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a) Bốn mặt bên và mặt đáy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành;
b) Các mặt \(AA'C'C\) và \(BB'D'D\)là hình bình hành
c) Bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.
a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ nên có:
‒ Hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) bằng nhau và là hình bình hành.
‒ Các mặt bên \(AA'B'B,AA'D'D,BB'C'C,CC'D'D\) là các hình bình hành.
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AC\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel A'C'\)
Mà \(AA'\) và \(CC'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(AA'\parallel CC'\)
Vậy \(AA'C'C\) là hình bình hành.
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = B{\rm{D}}\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}}\parallel B'D'\)
Mà \(BB'\) và \(DD'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(BB'\parallel DD'\)
Vậy \(BB'D'D\) là hình bình hành.
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'B'\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel A'B'\left( 1 \right)\)
\(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành nên \(AB = CD\)
\(AA'B'B\) là hình bình hành nên \(AB = A'B'\)
Vậy \(A'B' = CD\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(A'B'C{\rm{D}}\) là hình bình hành
\( \Rightarrow A'C,B'D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta có:
+ \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AC',B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
+ \(A'BCD'\) là hình bình hành nên \(A'C,B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Do đó bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.
