Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(P=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}+\frac{1}{\left(b+2\right)+\left(b+2\right)+\left(c+2\right)}+\frac{1}{\left(c+2\right)+\left(c+2\right)+\left(a+2\right)}\)

\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{2}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{2}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)

Dễ dàng cm BĐT \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)

\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\frac{a}{2}}+\frac{1}{1+\frac{b}{2}}+\frac{1}{1+\frac{c}{2}}\right)\)

\(\le\frac{1}{2}.\frac{3}{1+\sqrt[3]{\frac{abc}{8}}}=\frac{3}{4}\Rightarrow P\le\frac{1}{4}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=2\)

À viết ngược dấu BĐT phụ r` :v

\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) mới đúng nhé :v

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}\le0\) 

xy >/ 1 ? 

\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

\(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}\left(\frac{1}{x}+1\right)}=\frac{xyz}{x\left(x+1\right)}=\frac{yz}{x+1}\)

Tươn tự rồi cộng vế theo vế:

\(A=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(x+1\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(y+1\right)}\)

Đặt \(x+y=p;y+z=q;z+x=r\Rightarrow p+q+r=2\)

\(A\le\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}=\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left[\left(z+y\right)+\left(z+x\right)\right]}=\frac{p^2}{4\left(q+r\right)}+\frac{r^2}{4\left(p+q\right)}+\frac{q^2}{4\left(p+r\right)}\)

Sau khi đổi biến,cô si thì em ra thế này.Ai đó giúp em với :)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}=\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\) (1)

Tương tự:

\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) (2)

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) (3)

Từ (1) (2) và (3) 

=> \(\frac{1}{1+a}\cdot\frac{1}{1+b}\cdot\frac{1}{1+c}\ge8\sqrt{\frac{\left(abc\right)^2}{\left[\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\right]^2}}=8\cdot\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

=> \(1\ge8abc\)

=> \(abc\le\frac{1}{8}\)

Vậy GTLN là 1/8 khi x = y=z = 1/2 

\(P=\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\)

Ta có: 

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+1+a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right),\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\right)\)

Cộng lại vế với vế ta được: 

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu \(=\)khi \(a=b=c=1\).

trả lời đi mà

ta có \(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

=>\(1+\frac{1}{a}+1+\frac{1}{b}+1+\frac{1}{c}=2\)

=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2-3=-1\)

giả sử a>hoặc=b>hoặc=c>1

=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{3}{c}\)=>1<hoặc=C<hoặc=3

=>c={1,2,3}

+c=1=>...

+c=2=>...

+c=3=>...

thay vào r thử nhé.e lớp 7 nên nếu sai thì thôi nha

#hủ tiếu

cao tiến dũng 7c cxh:bạn ơi.3 số dương chứ đâu phải nguyên dương mà bạn làm như vậy:v

Đặt \(a=x^3;b=y^3;c=z^3\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và ta cần tìm GTLN của \(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta được: \(x.x.y\le\frac{x^3+x^3+y^3}{3}=\frac{2x^3+y^3}{3}\)(1) ; \(y.y.x\le\frac{y^3+y^3+x^3}{3}=\frac{2y^3+x^3}{3}\)(2)

Cộng theo vế của 2 BĐT (1) và (2), ta được: \(x^2y+xy^2\le x^3+y^3\)hay \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Kết hợp giả thiết xyz = 1 suy ra \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\left(\text{ta áp dụng BĐT cô-si}\right)\)

       \(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\)

Tương tự, ta có: 

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

Nhân theo vế. ta có: \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\frac{\sqrt{a^2b^2c^2}}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(Q=abc;MAX_Q=\frac{1}{8}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

P/s: Ko chắc

Dùng cauchy-schawarz là ra nhé :)