cho △ABC nt (O:R). các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N, H là trực tâm tam giác BCN, qua A kẻ đg thẳng song song vs BC cắt đg tròn tại M, đg thẳng MN cắt cung BC tại K.
a, tg OBNC nội tiếp.
b, NB.MB =BK.MN và BO=BH
giúp mk vs mk cần gấp
Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),nội tiếp đường tròn (O;R).Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau . Gọi H là giao điểm của OM và BC .Từ M kẻ đường thẳng song song với AC,đường thẳng song song cắt tại E và F (E thuộc cung nhỏ BC),cắt BC tại I ,cắt AB tại K.
a)Chứng minh:MO⊥BC và ME.MF=MH.MO
b)Chứng minh rằng tứ giác MBKC là tứ giác nội tiếp.Từ đó suy ra năm điểm M,B,K,O,C cùng thuộc một đường tròn.
a: Xét (O) có
MB,MC là tiếp tuyến
=>MB=MC
mà OB=OC
nên OM là trung trực của BC
Xét ΔMEB và ΔMBF có
góc MBE=góc MFB
góc EMB chung
=>ΔMEB đồng dạng với ΔMBF
=>MB^2=ME*MF=MH*MO
Cho đg tròn (o) đg kính AB = 2R và điểm M cố định trên tiếp tuyến của đg tròn tại A (M khác A). Qua M kẻ tiếp tuyến thứ hai MC và cát tuyến MHK với đg tròn ( C,H,K thuộc o) H nằm giữa M và K tia MK nằm giữa hai tia MB và MO. Các đg thẳng BH, BK cắt đg thằng MO lần lượt tại E và F. Qua A kẻ đg thẳng song song vs MK cắt đg trong tại điểm thứ hai là I. Nối CI cắt MK tại N.
a) cmr tứ giác MCHE nội tiếp
b) OE = OF
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N. Qua A kẻ đg // BC cắt (O) tại M. NM cắt (O) tại K. NO cắt (O) tại I.AK cắt BC tại H. C/m H là trđ BC
Lời giải:
*** Mình chưa thấy điểm $I$ có vai trò gì trong bài này.
Gọi $D$ là giao điểm $BC, AN$ và $L$ là giao $AN$ với $(O)$
Dễ thấy $\triangle ABN=\triangle MCN$ do:
$AB=MC$ (tính chất cung bị chặn bởi 2 dây song song)
$NB=NC$
$\widehat{ABN}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB>)}=\frac{1}{2}\text{sđc(MC>)}=\widehat{MCN}$
Do đó:
$\widehat{BAD}=\widehat{BAN}=\widehat{CMN}=\widehat{CAH}$
$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAD}$
Ta có:
$\frac{HB}{CH}=\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}}=\frac{AB.AH.\sin BAH}{AC.AH.\sin CAH}=\frac{AB.\sin BAH}{AC\sin CAH}$
$=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin BAH}{\sin CAH}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAD}{\sin BAD}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAL}{\sin BAL}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CBL}{\sin BCL}=\frac{AB}{AC}.\frac{LC}{BL}(*)$
Mà:
Dễ cm $\triangle ABN\sim \triangle BLN, \triangle ACN\sim \triangle CLN$
$\Rightarrow \frac{AB}{BL}=\frac{BN}{LN}=\frac{CN}{LN}=\frac{AC}{CL}$
$\Rightarrow \frac{LC}{BL}=\frac{AC}{AB}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{BH}{HC}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$
$\Rightarrow BH=HC$ nên $H$ là trung điểm của $BC$
** Đây là bài toán liên quan đến đường đẳng giác, đường đối trung. Bạn có thể google search để hiểu chuyên sâu hơn về tính chất của đường này.
Cho tam giác ABC có AB >AC. Kẻ đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC tại I và D. Từ I và D kẻ đg thẳng song song vs BC cắt AB taij M và N.
a) Tính AB và MN biết MI= 12cm, BC= 20cm
b) Từ C kẻ đg thẳng song song vs AB cắt BI tại E và BD tại . CMR: BI . IC=AI . IE
Cho tam giác ABC có trung tuyến AO, trọng tâm G, đường thănhr đi qua G cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Từ BC kẻ đg thẳng song song với MN cắt AO lần lượt tại H và K Cm AB/AM+AC/AN=3
Xét 2 tam giác AMG và ABH ta có:
\(\widehat{BAH}\) chung
\(\widehat{AMG}=\widehat{ABH}\) (cặp góc đồng vị do BH//MG)
\(\Rightarrow\Delta AMG\sim\Delta ABH\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AH}{AG}\) (1)
Xét 2 tam giác ANG và ACK có:
\(\widehat{CAK}\) chung
\(\widehat{ANG}=\widehat{ACK}\) (cặp góc đồng vị do CK//GN)
\(\Rightarrow\Delta ANG\sim\Delta ACK\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AK}{AG}\) (2)
Xét hai tam giác BOH và COK ta có:
\(\widehat{BOH}=\widehat{COK}\) (đối đỉnh)
\(BO=CO\) (AO là đường trung tuyến nên O là trung điểm của BC)
\(\widehat{HBO}=\widehat{KCO}\) (so le trong vì BH//MN và CK//MN ⇒ BH//CK)
\(\Rightarrow\Delta BOH=\Delta COK\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow HO=OK\) (hai cạnh t.ứng)
\(\Rightarrow HK=2HO\)
Ta lấy (1) + (2) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AH+AK}{AG}=\dfrac{AH+AH+HK}{AG}=\dfrac{2AH+HK}{AG}\)
\(=\dfrac{2AH+2HO}{AG}=\dfrac{2\left(AH+HO\right)}{AG}=\dfrac{2AO}{AG}\)
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow AO=\dfrac{3}{2}AG\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{2\cdot\dfrac{3}{2}AG}{AG}=2\cdot\dfrac{3}{2}=3\left(đpcm\right)\)
Tam giác ABC nội tiếp đg tròn (O;R) . Qua A kẻ tiếp tuyến xy . Từ B vẽ BM // xy ( M thuộc AC)
a) CM: AB.AB= AM.AC
b) Vẽ tiếp tuyến tại B cắt xy tại K . CM: KAOB là nội tiếp đg tròn , Xác dịnh tâm T đg tròn ngoại tiếp tg KAOB
c) KC Cắt đg tròn (o) tại E . Gọi I là trung điểm EC.CM: 5 điểm K,A,O,I,B cùng thuộc đg tròn
d) giả sử ABC là tg đều . tính dienj tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung nhỏ BC theo R.
Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố định ngoài đg tròn .qua A kẻ hai tiếp tuyến AM . AN tới đg tròn (M.N là hai tiếp điểm ). Một đường thẳng d đi qua A cắt đg tròn (O;R)tại B và C(AB<AC) Gọi I là trung điểm BC . Đường thẳng qua B song song AM cắt MN tại E
a. Cmr IE song song MC
Ta có : góc AMO = góc ANO = 900 (t/c tiếp tuyến)
Mặt khác I là tđ BC => OI vuông góc BC (t/c đường kính và dây) => góc AIO = 900
=> 5 điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn
Ta có góc MAI = góc MNI (AMIN nt), mà góc EBI = góc MAI (đồng vị, do AM // BE) => góc MNI = góc EBI hay góc ENI = góc EBI
=> Tứ giác NBEI nội tiếp => góc BNE = góc BIE. Mà góc BNE = góc BCM (cùng chắn cung MB trong (O))
=> góc BIE = góc BCM => IE // CM
Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt (O) tại E và F (E thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại I, cắt AB tại K
a) Chứng minh: MO vuông góc BC và ME.MF = MH.MO
b) Chứng minh rằng tứ giác MBKC là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra 5 điểm M, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn
c) Đường thẳng OK cắt O tại N và P (N thuộc cung nhỏ AC). Đường thẳng PI cắt O tại Q (Q khác P). Chứng minh ba điểm M, N, Q thẳng hàng