a: Xét (O) có

MB,MC là tiếp tuyến

=>MB=MC

mà OB=OC

nên OM là trung trực của BC

Xét ΔMEB và ΔMBF có

góc MBE=góc MFB

góc EMB chung

=>ΔMEB đồng dạng với ΔMBF

=>MB^2=ME*MF=MH*MO

Lời giải:

*** Mình chưa thấy điểm $I$ có vai trò gì trong bài này.

Gọi $D$ là giao điểm $BC, AN$ và $L$ là giao $AN$ với $(O)$

Dễ thấy $\triangle ABN=\triangle MCN$ do:

$AB=MC$ (tính chất cung bị chặn bởi 2 dây song song)

$NB=NC$

$\widehat{ABN}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB>)}=\frac{1}{2}\text{sđc(MC>)}=\widehat{MCN}$

Do đó:

$\widehat{BAD}=\widehat{BAN}=\widehat{CMN}=\widehat{CAH}$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAD}$

Ta có:

$\frac{HB}{CH}=\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}}=\frac{AB.AH.\sin BAH}{AC.AH.\sin CAH}=\frac{AB.\sin BAH}{AC\sin CAH}$

$=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin BAH}{\sin CAH}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAD}{\sin BAD}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAL}{\sin BAL}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CBL}{\sin BCL}=\frac{AB}{AC}.\frac{LC}{BL}(*)$

Mà:

Dễ cm $\triangle ABN\sim \triangle BLN, \triangle ACN\sim \triangle CLN$

$\Rightarrow \frac{AB}{BL}=\frac{BN}{LN}=\frac{CN}{LN}=\frac{AC}{CL}$

$\Rightarrow \frac{LC}{BL}=\frac{AC}{AB}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{BH}{HC}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$

$\Rightarrow BH=HC$ nên $H$ là trung điểm của $BC$

Hình vẽ:

** Đây là bài toán liên quan đến đường đẳng giác, đường đối trung. Bạn có thể google search để hiểu chuyên sâu hơn về tính chất của đường này.

bạn vẽ hình đi

Xét 2 tam giác AMG và ABH ta có:

\(\widehat{BAH}\) chung 

\(\widehat{AMG}=\widehat{ABH}\) (cặp góc đồng vị do BH//MG) 

\(\Rightarrow\Delta AMG\sim\Delta ABH\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AH}{AG}\) (1) 

Xét 2 tam giác ANG và ACK có:

\(\widehat{CAK}\) chung 

\(\widehat{ANG}=\widehat{ACK}\) (cặp góc đồng vị do CK//GN) 

\(\Rightarrow\Delta ANG\sim\Delta ACK\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AK}{AG}\) (2) 

Xét hai tam giác BOH và COK ta có: 

\(\widehat{BOH}=\widehat{COK}\) (đối đỉnh) 

\(BO=CO\) (AO là đường trung tuyến nên O là trung điểm của BC) 

\(\widehat{HBO}=\widehat{KCO}\) (so le trong vì BH//MN và CK//MN ⇒ BH//CK) 

\(\Rightarrow\Delta BOH=\Delta COK\left(g.c.g\right)\) 

\(\Rightarrow HO=OK\) (hai cạnh t.ứng) 

\(\Rightarrow HK=2HO\)

Ta lấy (1) + (2) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AH+AK}{AG}=\dfrac{AH+AH+HK}{AG}=\dfrac{2AH+HK}{AG}\) 

\(=\dfrac{2AH+2HO}{AG}=\dfrac{2\left(AH+HO\right)}{AG}=\dfrac{2AO}{AG}\) 

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow AO=\dfrac{3}{2}AG\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{2\cdot\dfrac{3}{2}AG}{AG}=2\cdot\dfrac{3}{2}=3\left(đpcm\right)\)  

Ta có : góc AMO = góc ANO = 90⁰ (t/c tiếp tuyến) 

Mặt khác I là tđ BC => OI vuông góc BC (t/c đường kính và dây) => góc AIO = 90⁰

=> 5 điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn

Ta có góc MAI = góc MNI (AMIN nt), mà góc EBI = góc MAI (đồng vị, do AM // BE) => góc MNI = góc EBI hay góc ENI = góc EBI

=> Tứ giác NBEI nội tiếp => góc BNE = góc BIE. Mà góc BNE = góc BCM (cùng chắn cung MB trong (O)) 

=> góc BIE = góc BCM => IE // CM