\(VT=\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}}\right)\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)

Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=\frac{16}{9}\)

c=c.1 thay 1 bằng a+b+c xong cô si

bạn có đang on không chat vs mình đi

Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!

Ok, giờ chú ý:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.

Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)

\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\)

Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\) cho các căn thức ở mẫu, khi đó ta được:

\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\ge\) với biểu thức

\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\)

Khi đó ta cần chứng minh: 

\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\ge\dfrac{3}{4}\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2a+3b+3c\\y=3a+2b+3c\\z=3a+3b+2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{1}{4}\left(3y+3z-5x\right)\\2b=\dfrac{1}{4}\left(3z+3x-5y\right)\\2c=\dfrac{1}{4}\left(3x+3y-5z\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó đẳng thức trên được viết lại thành:

\(\dfrac{3y+3z-5x}{4x}+\dfrac{3z+3x-5y}{4y}+\dfrac{3x+3y-5z}{4z}\ge\dfrac{3}{4}\)

Hay: \(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)-15\ge3\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cô si.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}\)

Khi đó bđt đã tro chở thành:

\(\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{xy}{z^2+3xy}\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{xy}{z^2+3xy}\ge1-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+3yz}+\dfrac{y^2}{y^2+3zx}+\dfrac{z^2}{z^2+3xy}\ge\dfrac{3}{4}\) (đpcm)

1, Ta có \(abc=a+b+c+2\ge4\sqrt[4]{abc.2}\)

<=>\(abc\ge8\)

BĐT <=> \(ab+bc+ac\ge2\left(abc-2\right)\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2-\frac{2}{abc}\)

Áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)

Khi đó cần CM \(\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge2-\frac{2}{abc}\)

Đặt \(\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=x\)=> \(0< x\le2\)

BĐT<=> \(\frac{3}{x}\ge2-\frac{2}{x^3}\)

<=>\(\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x}-2\ge0\)

<=> \(2+3x^2-2x^3\ge0\)

<=> \(\left(2-x\right)\left(2x^2+x+1\right)\ge0\)(luôn đúng với \(0< x\le2\))

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

2. BĐT <=> \(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\le\frac{3}{2}\)

Đặt \(a=\frac{y+z}{x};b=\frac{x+z}{y}\left(x.y,z>0\right)\)

=> \(c=\frac{a+b+2}{ab-1}=\frac{\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+2}{\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xy}-1}=\frac{x^2+y^2+z\left(x+y\right)+2xy}{z\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2+z\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y}{z}\)

Khi đó BĐT <=> \(\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xy}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{yz}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{zx}}}\le\frac{3}{2}\)

<=> \(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\le\frac{3}{2}\)

Áp dụng cosi ta có 

\(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)

Tương tự=> \(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)=> \(a=b=c=2\)

Xin lỗi ở bài 1 mình làm nhầm .

Làm lại bài1

Tương tự bài 2

Đặt \(a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}\left(x,y,z>0\right)\)

Khi đó BĐT

<=> \(\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xy}+\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{yz}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{xz}\ge2\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)\)

<=> \(z\left(y+z\right)\left(x+z\right)+x\left(x+y\right)\left(x+z\right)+y\left(y+z\right)\left(y+x\right)\ge2\left[yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+xy\left(x+y\right)\right]\)

<=>\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)( BĐT Schur ) (luôn đúng)

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2