a) Ta có: D và H đối xứng nhau qua AB(gt)

nên AB là đường trung trực của DH

hay AH=AD(1)

Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC(gt)

nên AC là đường trung trực của EH

hay AE=AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD=AE

hay ΔDAE cân tại A

Lời giải:

a. Vì $H, D$ đối xứng nhau qua $AB$ nên $AB$ là đường trung trực của $DH$

$\Rightarrow AD=AH(1)$

Vì $H,E$ đối xứng qua $AC$ là đường trung trực của $HE$

$\Rightarrow AH=AE(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AD=AE$ nên tam giác $ADE$ cân tại $A$

b.

Vì $AB$ là trung trực $DH$ nên:

$AD=AH, MD=MH$

Do đó dễ cm $\triangle ADM=\triangle AHM$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{MHA}=\widehat{MDA}=\widehat{EDA}(*)$

Tương tự: $\triangle ANH=\triangle ANE(c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{NHA}=\widehat{NEA}=\widehat{DEA}(**)$
Tam giác $ADE$ cân tại $A$ nên $\widehat{EDA}=\widehat{DEA}(***)$

Từ $(*); (**); (***)\Rightarrow \widehat{MHA}=\widehat{NHA}$

Do đó $HA$ là phân giác $\widehat{MHN}$

Làm nốt câu c,d.

c. Sửa thành $BN, CM, AH$ đồng quy

Gọi $T$ là giao $AH, DN$ và $R$ là giao $DN, BC$

Xét tam giác $ADT$ và $NHT$ có:
$\widehat{ATD}=\widehat{NTH}$ (đối đỉnh)

$\widehat{D_2}=\widehat{H_2}=\widehat{H_1}$

$\Rightarrow \triangle ADT\sim \triangle NHT$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AT}{DT}=\frac{NT}{HT}$

$\Rightarrow \triangle ATN\sim \triangle DTH$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{N_1}=\widehat{THD}(3)$

Mặt khác:

Vì $\triangle ADT\sim \triangle NHT$ 

$\Rightarrow \widehat{DAT}=\widehat{HNT}=\widehat{HND}$

Mà $\widehat{DAT}+\widehat{DBH}=180^0$ (do $\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^0$)

$\Rightarrow \widehat{HND}=\widehat{DAT}=180^0-\widehat{DBH}=\widehat{RBD}$

Xét tam giác $RBD$ và $RNH$ có:

$\widehat{R}$ chung

$\widehat{RBD}=\widehat{HND}=\widehat{RNH}$

$\Rightarrow \triangle RBD\sim \triangle RNH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{RB}{RD}=\frac{RN}{RH}$

$\Rightarrow \triangle RDH\sim \triangle RBN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{RHD}=\widehat{RNB}(4)$

Từ $(3);(4)$ suy ra:

$\widehat{N_1}+\widehat{RNB}=\widehat{THD}+\widehat{RHD}$

$\Leftrightarrow \widehat{ANB}=\widehat{AHB}=90^0$

$\Rightarrow BN\perp AC$

Tương tự $CM\perp AB$

Tam giác $ABC$ có $BN\perp AC, CM\perp AB, AH\perp BC$ nên ba đường này đồng quy (3 đường cao trong tam giác)

d. Đã làm ở phần c.

P/s: Bài toán này nếu làm bằng kiến thức lớp 9 thì khá nhẹ nhàng, nhưng dùng kiến thức lớp 8 thì mình thấy hơi dài.

Hình vẽ:

1: Ta có: H và D đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trực của HD

Suy ra: \(AH=AD\left(1\right)\)

Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của HE

Suy ra: \(AH=AE\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra AD=AE

Xét ΔADE có AD=AE

nên ΔADE cân tại A