Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của hoangchau - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Hoặc

Câu hỏi của Dang Quốc Hung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có ;

\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2}{y^2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)

hay \(M\ge\frac{49}{16}\)

Vậy \(M_{min}=\frac{49}{16}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{4x^2}=\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{z^2}\)

hay 

\(x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)

\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có :

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\left(x.\frac{1}{4x}+y.\frac{1}{2y}+z.\frac{1}{z}\right)^2=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2\)

\(=\frac{49}{16}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)

\(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)

\(x^3+2x^2+3x=y^3-2\)

\(x\left(x^2+2x+3\right)=y^3-2\)

\(x=\frac{y^3-2}{x^2+2x+3}\)

đến đây tìm để \(x,y\in Z\) là xong

đép ba si tồ ơi anh làm kiểu j vậy e chẳng hiểu c éo j cả :)

Despacito là con gái chứ anh gì :')

Mạnh ê,tôi vào đc nixk này rồi hehe

Duy thoát ra ngay đi

ờm,để tôi sang nick kia vậy

Ta có: 

\(3=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Leftrightarrow xyz\le1\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{3}{\sqrt[6]{xyz}}\ge\frac{3}{1}=3\)

ta có 
P = 1/16x + 1/4y + 1/z = (1/16x + 4/16y + 16/16z) 
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 
(1/16x + 4/16y + 16/16z)*(16x + 16y + 16z) >= (1 + 2 + 4)^2 = 49 
=> P.16 >= 49 hay P >= 49/16 
dấu = xảy ra khi 
1/(16x)^2 = 1/64y^2 = 1/16z^2 và x + y + z = 1 
<> 1/16x = 1/8y = 1/4z và x + y + z = 1 
<> 4x = 2y = z và x + y + z = 1 
<> x = 1/7 và y = 2/7 và z = 4/7

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may 

bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ? 

Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

lớp 8 đã học bất đẳng thức Bunhiacopski rồi à