Question

Cho \(x,y,z\in R\) thỏa mãn x+y+z=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

Answer 1

\(P=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)

Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(P\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)

Dấu = khi \(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{1}{7}\end{cases}}\)

Vậy...

Answer 2

Cách khác không dùng Cauchy Schwarz

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge\frac{49}{16}\)

\(\Leftrightarrow P'=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{16}{z}\ge49\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\frac{1}{x}+49x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot49}=14\)

\(\frac{4}{y}+49y\ge2\sqrt{\frac{4}{y}\cdot49y}=28\)

\(\frac{16}{z}+49z\ge2\sqrt{\frac{16}{z}\cdot49z}=56\)

\(\Rightarrow P'+49\left(x+y+z\right)\ge98\)

\(\Rightarrow P'\ge49\)