Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+2}{x-1}\) có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Cho hàm số y = \(\dfrac{2x-1}{x-1}\) đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng \(\sqrt{2}\) . Với điểm I như trên, viết phương trình tiếp tuyến của (C) để khoảng cách từ I đến tiếp tuyến Max
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi tiếp tuyến qua điểm \(M\left(a;b\right)\) thuộc (C) có dạng:
\(y=\dfrac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a-1}{a-1}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(a-1\right)^2y-2a^2+2a-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(\dfrac{\left|1+2\left(a-1\right)^2-2a^2+2a-1\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|2a-2\right|=\sqrt{2}.\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-1\right)^2=1+\left(a-1\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-1\right)^2-1\right]^2=0\Rightarrow a=...\)
b.
Vẫn từ công thức khoảng cách trên:
\(d=\dfrac{\left|2a-2\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2\sqrt{\left(a-1\right)^2}}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-1\right)^2}+\left(a-1\right)^2}}\)
\(d\le\dfrac{2}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)^2}}}}=\sqrt{2}\)
Vậy \(d_{max}=\sqrt{2}\) khi tiếp tuyến trùng với các tiếp tuyến câu a
cho hàm số \(y=\dfrac{2x-1}{x+1}\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 1
\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\)
Gọi \(M\left(m;\dfrac{2m-1}{m+1}\right)\) là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M:
\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{2m-1}{m+1}\)
\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+2m^2-2m-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(\dfrac{\left|-\left(m+1\right)^2+2m^2-2m-1\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=1\)
Bạn tự giải ra m nhé
I. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}|khix\ne1\\1-2x|khix=1\end{matrix}\right.\)tại điểm x0 = 1
II. Cho hàm số y = -x3 - x2 - 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
y = -6x + 17
III. Cho hình chóp S.ABCD có SA \(\perp\) (ABCD). Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Chứng minh rằng: BC \(\perp\) (SAB)
IV. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a. AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AB = \(\dfrac{a}{2}\). Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC)
giải giúp mình nhé. cảm ơn các bạn
I. Hàm số xác định trên D = R.
+) \(\lim\limits f\left(x\right)_{x\rightarrow1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(x-2\right)\)
\(=-1\)
+) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(1-2x\right)=-1\)
=> Hàm số liên tục tại x0 = 1
II. Gọi phương trình tiếp tuyến tại N(x0; y0) là:
y = y'(x0)(x - x0) + y0
y = -x3 - x2 - 6x + 1
=> y' = -3x2 - 2x + 6
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -6x + 17 => y'(x0) = 6
<=> -3x2 - 2x + 6 = 6
<=> -3x2 - 2x = 0
<=> -x(3x + 2) = 0
<=> x = 0 hoặc x = -2/3
Trường hợp 1: x0 = 0 => y0 = 0
=> y'(x0) = 6
=> Phương trình tiếp tuyến: y = 6(x - 0) + 1
<=> y = 6x + 1
Trường hợp 2: x0 = -2/3 => y0 = 37/9
=> y'(x0) = 9
=> Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + 2/3) + 37/9
<=> y = 9x + 91/9
I. Cho hàm số y = x3 - 2x2 + x - 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng đồ thị này song song với đường thẳng y = -5x + 17.
II. Xét tính liên tục của hàm số sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-x^2+2x+1}{-x-1}|khix=-1\\3-2x|khix=1\end{matrix}\right.\)tại x0 = 1
III. Cho hình chóp S.ABCD có SA \(\perp\) (ABCD), ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng BC \(\perp\) (SAC).
Giải giúp mình nhé. Mai mình thi HKII rồi. Cảm ơn các bạn rất nhiều.
Cho hàm số \(y=\dfrac{x}{x-1}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng khoẳng cách từ điểm \(B\left(1;1\right)\) đến tiếp tuyến có giá trị lớn nhất.
A. \(y=x-4\)
B. \(y=x+3\)
C. \(y=-x+5\)
D. \(-x+4\)
Ta có : \(y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đths trên \(\). Ta có :
PT d : \(y=\dfrac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_{0-1}}=\dfrac{-x}{\left(x_0-1\right)^2}+\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}\)
K/C từ B(1;1) đến d : d(B;d) = \(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+1-\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\right|\)
= \(\left|\dfrac{2\left(1-x_0\right)}{\left(x_0-1\right)^2}\right|:\dfrac{\sqrt{\left(x_0-1\right)^4+1}}{\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{\left(1-x_0\right)^4+1}}\) \(\le\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{2\left(1-x_0\right)^2}}=\sqrt{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
Suy ra : y = -x hoặc y = -x + 4
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến d:
\(y=-\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_0-1}\)
\(\Rightarrow x+\left(x_0-1\right)^2y-x_0^2=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|1+\left(x_0-1\right)^2-x_0^2\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2\left|x_0-1\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+\left(x_0-1\right)^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}=\left(x_0-1\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x\\y=-x+4\end{matrix}\right.\)
Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+2}{x-1}\) (C). Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
a) tiếp tuyến có hệ số góc =-1
b) tiếp tuyến tạo voi 2 trục tọa độ lập thành 1 tam giác cân
c) tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
a) \(y'=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
pt tiếp tuyến : \(\left[{}\begin{matrix}y=-\left(x-3\right)+4=-x+7\\y=-\left(x+1\right)=-x-1\end{matrix}\right.\)
b) \(k=\pm1\)
\(y'< 0\forall x\Rightarrow y'=-1\)
làm như trên
c) hoành độ tiếp điểm \(x=\pm2\)
TH x = 2
\(k=-4\)
pt tiếp tuyến : \(y=-4\left(x-2\right)+6=-4x+14\)
TH x = -2
\(k=-\dfrac{4}{9}\)
pt tiếp tuyến : \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x+2\right)+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{9}\)
Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\) và điểm I(-1;1) . Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất
\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến tại \(M\left(m;\dfrac{m-2}{m+1}\right)\) có dạng:
\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m-2}{m+1}\)
\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+m^2-4m-2=0\)
\(P=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|6m+6\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}}}\le\dfrac{6}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{9\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}}}}=\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=3\Rightarrow m=\) ... lại xấu :)
Cho hàm số y = x - 2 x + 1 có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến ∆ bằng?
A . 3
B . 2 6
C . 2 3
D . 6
+ Đồ thi hàm số đã cho co TCĐ là : x= -1 và TCN là y= 1; tâm đối xứng- giao của 2 đườg tiệm cận có tọa độ là I ( -1; 1)
Gọi M x 0 ; x 0 - 2 x 0 + 1 ∈ C , x 0 ≠ - 1 , I ( - 1 ; 1 )
+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A - 1 ; x 0 - 5 x 0 + 1
+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B( 2x0+1; 1).
Ta có
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là S=p.r, suy ra
Suy ra,
Chọn D.
Cho hàm số: y = 2 x + 2 x - 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
A. y = -x-1; y = -x+6
B. y = -x-2; y = -x+7
C. y = -x-1; y = -x+5
D. y = -x-1; y = -x+7
- Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1.
- Ta có:
- Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
- Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ± 1. Mặt khác: y ' ( x 0 ) < 0 , nên có: y ' ( x 0 ) = - 1 .
- Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -x - 1; y = -x + 7.
Chọn D
Cho hàm số : \(y=\frac{2x+1}{x+1},\left(C\right)\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến cách đều điểm A(2;4) và B(-4;-2)
Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm \(\left(x_0\ne-1\right)\), phương trình tiếp tuyến là :
\(y=\frac{1}{\left(x_0+1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+1}{x_0+1}\)
Vì tiếp tuyến cách đều A và b nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song AB.
- Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB ta có \(x_0=1\), vậy phương trình là \(y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\)
- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng AB : \(y=x+2\), ta có :
\(\frac{1}{\left(x_0+1\right)^2}=1;\frac{2x_0+1}{x_0+1}\ne2\Rightarrow x_0=0;x_0=-2\)
Với \(x_0=0\) ta có : \(y=x+1\)
Với \(x_0=-2\) ta có : \(y=x+5\)