Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+2}{x-1}\) có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ điểm I(1,2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Cho hàm số y = \(\dfrac{2x-1}{x-1}\) đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng \(\sqrt{2}\) . Với điểm I như trên, viết phương trình tiếp tuyến của (C) để khoảng cách từ I đến tiếp tuyến Max
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi tiếp tuyến qua điểm \(M\left(a;b\right)\) thuộc (C) có dạng:
\(y=\dfrac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a-1}{a-1}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(a-1\right)^2y-2a^2+2a-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(\dfrac{\left|1+2\left(a-1\right)^2-2a^2+2a-1\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|2a-2\right|=\sqrt{2}.\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-1\right)^2=1+\left(a-1\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-1\right)^2-1\right]^2=0\Rightarrow a=...\)
b.
Vẫn từ công thức khoảng cách trên:
\(d=\dfrac{\left|2a-2\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2\sqrt{\left(a-1\right)^2}}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-1\right)^2}+\left(a-1\right)^2}}\)
\(d\le\dfrac{2}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)^2}}}}=\sqrt{2}\)
Vậy \(d_{max}=\sqrt{2}\) khi tiếp tuyến trùng với các tiếp tuyến câu a
cho hàm số \(y=\dfrac{2x-1}{x+1}\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 1
\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\)
Gọi \(M\left(m;\dfrac{2m-1}{m+1}\right)\) là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M:
\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{2m-1}{m+1}\)
\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+2m^2-2m-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(\dfrac{\left|-\left(m+1\right)^2+2m^2-2m-1\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=1\)
Bạn tự giải ra m nhé
Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\) và điểm I(-1;1) . Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất
\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến tại \(M\left(m;\dfrac{m-2}{m+1}\right)\) có dạng:
\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m-2}{m+1}\)
\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+m^2-4m-2=0\)
\(P=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|6m+6\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}}}\le\dfrac{6}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{9\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}}}}=\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=3\Rightarrow m=\) ... lại xấu :)
Cho hàm số \(y=\dfrac{x}{x-1}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng khoẳng cách từ điểm \(B\left(1;1\right)\) đến tiếp tuyến có giá trị lớn nhất.
A. \(y=x-4\)
B. \(y=x+3\)
C. \(y=-x+5\)
D. \(-x+4\)
Ta có : \(y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đths trên \(\). Ta có :
PT d : \(y=\dfrac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_{0-1}}=\dfrac{-x}{\left(x_0-1\right)^2}+\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}\)
K/C từ B(1;1) đến d : d(B;d) = \(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+1-\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\right|\)
= \(\left|\dfrac{2\left(1-x_0\right)}{\left(x_0-1\right)^2}\right|:\dfrac{\sqrt{\left(x_0-1\right)^4+1}}{\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{\left(1-x_0\right)^4+1}}\) \(\le\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{2\left(1-x_0\right)^2}}=\sqrt{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
Suy ra : y = -x hoặc y = -x + 4
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến d:
\(y=-\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_0-1}\)
\(\Rightarrow x+\left(x_0-1\right)^2y-x_0^2=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|1+\left(x_0-1\right)^2-x_0^2\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2\left|x_0-1\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+\left(x_0-1\right)^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}=\left(x_0-1\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x\\y=-x+4\end{matrix}\right.\)
Cho hàm số y = x - 2 x + 1 có đồ thị (C) . Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến ∆ bằng?
A . 3
B . 2 6
C . 2 3
D . 6
+ Đồ thi hàm số đã cho co TCĐ là : x= -1 và TCN là y= 1; tâm đối xứng- giao của 2 đườg tiệm cận có tọa độ là I ( -1; 1)
Gọi M x 0 ; x 0 - 2 x 0 + 1 ∈ C , x 0 ≠ - 1 , I ( - 1 ; 1 )
+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A - 1 ; x 0 - 5 x 0 + 1
+ Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B( 2x0+1; 1).
Ta có
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là S=p.r, suy ra
Suy ra,
Chọn D.
Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+2}{x-1}\) (C). Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
a) tiếp tuyến có hệ số góc =-1
b) tiếp tuyến tạo voi 2 trục tọa độ lập thành 1 tam giác cân
c) tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
a) \(y'=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
pt tiếp tuyến : \(\left[{}\begin{matrix}y=-\left(x-3\right)+4=-x+7\\y=-\left(x+1\right)=-x-1\end{matrix}\right.\)
b) \(k=\pm1\)
\(y'< 0\forall x\Rightarrow y'=-1\)
làm như trên
c) hoành độ tiếp điểm \(x=\pm2\)
TH x = 2
\(k=-4\)
pt tiếp tuyến : \(y=-4\left(x-2\right)+6=-4x+14\)
TH x = -2
\(k=-\dfrac{4}{9}\)
pt tiếp tuyến : \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x+2\right)+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{9}\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{x-2}{x+1}\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt 2 đường thẳng d1:x=-1 và d2:y=1 lần lượt tại A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất.
Cho hàm số y = x x - 1 có đồ thị (C) .Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) (với x0 > 0) thuộc đồ thị (C). Để khoảng cách từ tâm đối xứng I của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất thì tung độ của điểm M gần giá trị nào nhất?
A. 7 π 2
B. 3 π 2
C. 5 π 2
D. π 2
+ Hàm số đã cho có TCĐ là x=1 và TCN là y= 1 nên tâm đối xứng- là giao điểm của 2 đường tiệm cận có tọa độ là I (1; 1)
+ Ta có
Gọi
+ Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
+
+ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
Tung độ này gần với giá trị nhất trong các đáp án.
Chọn D.
Cho hàm số y = 2 x - 1 x + 1 có đồ thị (C) . Biết khoảng cách từ I(-1; 2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất?
A.3e
B.2e
C.e
D.4e
+ Ta có y ' = 3 x + 1 2
+ Gọi M x 0 ; 2 x 0 - 1 x 0 + 1 ∈ C , x 0 ≠ - 1 .
Phương trình tiếp tuyến tại M là
+
+ Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án.
Chọn C.
Cho hàm số y = x + 2 x + 1 có đồ thị là (C). Gọi d là khoảng cách từ giao điểm 2 tiệm cận của (C) đến một tiếp tuyến bất kỳ của (C). Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là:
A. 3 3
B. 2 2
C. 3
D. 2